Меню

Закон изменения тока цепи при вынужденных колебаниях

Вынужденные электромагнитные колебания. Переменный ток

Поддерживать незатухающие колебания в контуре можно, если включить в цепь генератор, электродвижущая сила которого изменяется периодически (рис. 4.3). В этом случае в контуре будут наблюдаться вынужденные колебания.Вынужденные колебания – это такие колебания, которые совершаются при наличии внешнего периодически изменяющегося воздействия.

Рис. 4.3 Контур для наблюдения вынужденых колебаний

С учетом того, что ЭДС , закон Ома для цепи, изображенной на рис. 4.3 примет вид:

Проведя преобразования, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Установившиеся колебания будут гармоническими с частотой вынуждающей ЭДС

Амплитуда и фаза зависят от частоты и от параметров контура R, С, L.

По аналогии с механическими колебаниями амплитуда и фаза определяются соотношениями:

Используя введенные ранее обозначения , , выражения (4.17) преобразуем к виду:

При некоторой частоте внешней ЭДС амплитуда заряда достигает максимума и наблюдается резонанс. Используя аналогию с механическими колебаниями, легко определить условие резонанса в контуре:

На рис. 4.4 представлены резонансные кривые напряжения при различных добротностях контура (коэффициента затухания).

Рис. 4.4 Резонансные кривые

Учитывая, что логарифмический декремент затухания , а , частота, при которой наступает резонанс связана с добротностью контура D

Из формулы (4.20) видно, что резонансная частота заметно отличается от собственной частоты только при малых значениях добротности .

На практике электрические колебательные контуры имеют добротность в десятки и сотни единиц. В этом случае , поэтому в радиотехнике резонансные частоты рассчитывают, как правило, по формуле собственной частоты.

Периодический разряд конденсатора по закону (4.16) позволяет найти закономерность изменения тока в контуре:

Таким образом, колебательный контур можно рассматривать как цепь переменного тока с частотой генератора, с амплитудой

Учитывая, что практически все электрические цепи удовлетворяют критерию квазистационарности, выражение (4.22) можно рассматривать как закон Ома для амплитудных значений тока и ЭДС, а величину

назвать полным сопротивлением цепи переменного тока или импедансом.

Выражение для тока (4.21) запишем в виде:

откуда следует, что между изменениями тока и ЭДС наблюдается сдвиг по фазе .

Для более детального изучения процессов в цепи переменного тока, рассмотрим поочередно поведение резистора, конденсатора и катушки индуктивности при подключении к генератору с ЭДС

а) Через резистор сопротивлением R (рис. 4.5) идет ток

Рис. 4.5 Колебательный контур с активным сопротивлением

Обозначим амплитуду тока , тогда

Напряжение на резисторе равно

Таким образом, между амплитудными значениями тока и напряжения на резисторе сдвиг фаз равен нулю. Для наглядности соотношения между током и напряжением в цепи переменного тока изображают с помощью векторных диаграмм (рис. 4.6)

б) Если к источнику тока подключить конденсатор емкостью С и пренебречь сопротивлением и индуктивностью проводников, разность потенциалов на обкладках будет равна напряжению на клеммах источника, которое изменяется так же, как ЭДС

Сила тока в этом случае определяется выражением

Рис. 4.6. Векторная диаграмма для токов и напряжений

Полагая, что закон Ома выполним для амплитудных значений тока и напряжения, получим:

т. е. сопротивление конденсатора переменному току

называемое емкостным сопротивлением.

Из (4.27) видно, что изменение тока опережает изменение напряжения, а, следовательно напряжение отстает от изменения тока по фазе на (см. рис. 4.6). Это имеет простой физический смысл. Напряжение на конденсаторе зависит от накопленного к данному моменту времени заряда. Однако этот заряд был создан током, протекавшим в цепи в предшествующие моменты времени.

в) При подключении катушки индуктивности к источнику переменного тока происходит изменение магнитного потока, пронизывающего катушку и в ней возникает ЭДС индукции По второму правилу Кирхгофа сумма всех ЭДС в контуре равна сумме падений напряжений. Следовательно, если пренебречь сопротивлением и емкостью цепи, напряжение на клеммах источника будет равно ЭДС самоиндукции

Из выражения (4.30) следует, что

Интегрируя это выражение и учитывая, что постоянная составляющая тока отсутствует, получим

Амплитудное значение тока

Выражение – называется сопротивлением катушки индуктивности переменному току – индуктивное сопротивление.

Из уравнения (4.31) видно, что изменение напряжения опережает изменение тока на , диаграмма этого процесса на рис. 4.6.

Физический смысл этого состоит в том, что напряжение зависит от скорости изменения тока, а она максимальна в момент времени, когда , тогда напряжение достигает максимума.

Катушка с сопротивлением (дроссель) используется для регулирования тока в цепи переменного тока. По сравнению с резисторами дроссели имеют преимущество, так как увеличение сопротивления с их помощью не приводит к тепловым потерям.

Индуктивное сопротивление существует только для переменного тока, поэтому дроссели применяют для разделения переменной и постоянной составляющей тока.

При последовательном соединении элементов цепи переменного тока (рис. 4.3) напряжение на клеммах генератора равно сумме напряжений на резисторе, на емкости и на индуктивности, изменяющихся по гармоническому закону. Так как фазы колебаний напряжения различны, то результат сложения проще получить с помощью векторной диаграммы (рис. 4.6).

Из этой диаграммы получаем для амплитудных значений результирующих напряжений и токов

Для сдвига фаз можно записать:

Выражение (4.33) – это закон Ома для цепи переменного тока, которое уже было получено при изучении вынужденных колебаний.

Наименьшее сопротивление цепи будет при , или

тогда амплитудное значение тока будет максимальным

Это явление называется резонансом напряжений, который наблюдается в узком интервале частот относительно .

Как следует из векторной диаграммы (рис. 4.6), в момент резонанса напряжения на индуктивности и емкости равны друг другу. Проделаем ряд математических преобразований

который позволяет найти связь между напряжением на конденсаторе (на катушке) через добротность контура D. В некоторых случаях (радиотехнические устройства) добротность достигает сотен и тысяч единиц, тогда напряжения и значительно превышают напряжение на источнике (этим объясняется название ‑ резонанс напряжений).

Явление резонанса напряжений используется для настройки радио- и телеустройств на нужную длину волны (частоту). Оно учитывается при расчете электрической прочности изоляции проводов.

При параллельном соединении индуктивной катушки и конденсатора (рис. 4.7) в них потекут токи, амплитудные значения которых и (без учета сопротивления проволоки катушки).

Рис. 4.7 Параллельный колебательный контур

При частоте эти токи будут одинаковы (и достаточно велики), а фазы их изменений противоположны, так что ток в цепи источника становится равным нулю. Это явление называется резонансом токов. Получается, что колебательный контур представляет большое сопротивление переменному току при частоте и малое для остальных частот. Это явление используется в резонансных усилителях. При устройстве печей параллельно нагревающей катушке присоединяют конденсатор, электроемкость которого подбирают так, чтобы частота колебаний образовавшегося колебательного контура была равна частоте питающего генератора.

В этом случае ток в катушке резко возрастает по сравнению с током через генератор и подводящие провода.

Цепи переменного тока содержат устройства, являющиеся потребителями или преобразователями электрической энергии, поэтому необходимо знать, как вычисляется мощность в цепи переменного тока. Основываясь на свойстве квазистационарности цепи, можно использовать для мгновенного значения мощности известную формулу

Так как , , то для мощности получим выражение

Из выражения (4.38) видно, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока различна в различные моменты времени.

На практике, как правило, пользуются понятием средней мощности. Имея в виду периодичность изменения мощности, достаточно вычислить среднее значение мощности за один период колебания:

Используя тригонометрическую формулу

и учитывая, что интеграл от за период времени Т равен нулю, из (4.39) получим:

Если в цепи имеется только резистор с сопротивлением R, то и мощность равна

Эта формула окажется идентичной формуле мощности для постоянного тока, если ввести обозначения

Величины и называются эффективными значениями тока и напряжения соответственно. Они имеют определенный физический смысл.

Эффективными (или действующими) значениями тока и напряжения называются также соответствующие величины постоянного тока, который выделяет те же среднюю мощность, что и данный переменный ток.

При наличии в цепи только конденсатора, или только катушки индуктивности , так что средняя мощность равна нулю, то есть энергия не выделяется. Поэтому RС и RL называются безваттными или реактивными сопротивлениями, а сопротивление резистора называется активным.

В цепи, содержащей R, L, C мощность также выделяется только в резисторе (джоулева теплота). При этом потребляется не вся мощность источника, а лишь ее часть, зависящая от значения . Остальная часть «перекачивается» туда и обратно между источником и потребителем. На практике стремятся так подбирать RС и RL в цепи, чтобы увеличить , наименьшее значение которого в промышленных цепях должно составлять примерно 0,85.

Электроизмерительные приборы в цепи переменного тока показывают именно эффективные значения.

Выводы

Колебания, как физический процесс, занимают особое место в физике. Несмотря на огромное разнообразие колебаний, математические закономерности описывающие их оказываются универсальными. Поэтому изучение электромагнитных колебаний во многом упрощается, если использовать метод аналогий с уже рассмотренными механическими колебаниями. Но имеется принципиальное отличие, заключающееся в практической важности электромагнитных колебаний. Этот вид колебаний лежит в основе законов, описывающих переменный ток, без которого невозможно представить современную промышленность и вообще цивилизацию, ведь большинство технических приборов и устройств используют в своей работе переменый ток. А переменный ток в электрических цепях явяляется результатом возбуждения в них вынужденных электромагнитных колебаний. Эти вынужденные колебания создаются электрогенераторами на электростанциях.

Именно законы электромагнитных колебаний определяют работу радиотехнических, телевизионных, компьютерных и прочих устройств. Например, в электрических цепях часто используется контур, в котором конденсатор и катушка индуктивности подключаются к источнику тока параллельно. В таком контуре наблюдается параллельный резонанс, при котором контур приобретает наибольшее сопротивление и практически перестает пропускать через себя электрический ток. Контур с параллельным резонансом используют для выделения сигналов, частота которых совпадает с резонасной частотой контура, так как при параллельном резонансе падение напряжения на концах контура принимает максимальное значение. Примером может служить входной контур любого радиоприемника, позволяющий изменением емкости конденсатора настраиваться на частоту нужной радиостанции и резко усиливать ее сигнал.

Однако не менее важным фактом является то, что электромагнитные колебания являются причиной возникновения электромагнитных волн. Не будет преувеличением отметить, что электромагнитные волны встречаются во всех разделах современной физики.

Эти волны определяют не только характер современной цивилизации, но и вообще существование этой цивилизации. Ведь свет, тепловое излучение являются вариантами проявления электромагнитных волн.

Читайте также:  Что проводит электрический ток кремний оксид кремния кремниевая кислота силикат натрия

Как только ученые открыли связь между электромагнитными колебаниями и соответстующими волнами, начались активные попытки по практическому применению этих открытий.

Уже в 1829 г. П.Л. Шиллинг в Петербурге создал телеграф, позволявший по проводам передавать все буквы русского алфавита. В 1835-1844 гг. С. Морзе в США изобрел свою азбуку и внедрил двухпроводный телеграф, передающий сигналы в виде «точек» и «тире». Первый подводный кабель был проложен в 1851 г. между Англией и Францией, а в 1866 г. удалось установить постоянно действующую телеграфную линию по дну Атлантического океана между Европой и Америкой (в ее создании активно участвовал У. Томсон). Именно У. Томсон в 1853 г. разработал теорию электромагнитных колебаний.

С 60-х годов XIX века начались интенсивные поиски электродинамических способов передачи звуковых сигналов. Наиболее удачным оказался способ, предложенный в 1876 г. А.Г. Беллом в США, сейчас известен как телефонный аппарат.

Широкое внедрение телеграфной и телефонной связи оказало стимулирующее воздействие на развитие электродинамики квазистационарных и переменных токов. Второй обширной областью практического применения электричества стала проблема освещения. В 1876 г. П.Н. Яблочков изобрел дуговую лампу, позволившую применить электричество для освещения.

В 80-х гг. «свечу» Яблочкова начала вытеснять лампа накаливания, изобретенная в России А. Н. Лодыгиным. Более удачную конструкцию лампы накаливания с вольфрамовой нитью создал в 1879 г. Т.А. Эдисон. Данная конструкция до сих пор используется в лампах накаливания.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Ток смещения

Теория электромагнитного поля, которая была предложена Фарадеем, была математически и логически завершена в работах Максвелла. При этом Максвелл выдвинул важную идею, согласно которой должна существовать «симметрия» во взаимозависимости электрического и магнитного поля. То есть, если переменное во времени магнитное поле создает вихревое электрическое поле, можно ожидать, что и меняющееся во времени электрическое поле должно порождать магнитное поле.

Действительно, электрическое поле может создаваться двумя способами: зарядами (так создается кулоновское поле) и изменяющимся во времени магнитным полем (так создается индукционное поле). Однако до сих пор упоминался лишь один способ возникновения магнитного поля – посредством тока. Поэтому естественно предположить, что и для магнитного поля должен существовать второй способ его возникновения.

Рассмотрим еще раз закон полного тока, определяющий циркуляцию магнитного поля,

где и – сила результирующего макротока и микротока, соответственно, сквозь поверхность, образованную замкнутым контуром .

Максвелл обобщил закон полного тока. Согласно его гипотезе, кроме токов (макротоков в проводниках и микротоков в магнетиках), должна существовать еще одна причина возникновения магнитного поля. С целью иллюстрации рассуждений Максвелла, рассмотрим предложенный им мысленный эксперимент.

Если в данной цепи (рис. 5.1) замкнуть ключ, то лампа при постоянном токе гореть не будет, поскольку емкость C – разрывает цепь постоянного тока. Но в моменты включения лампа будет вспыхивать.

Если в предложенной электрической цепи включить источник переменного тока – лампа будет гореть, но в то же время ясно, что электроны с одной обкладки на другую не переходят, поскольку между ними изолятор (или вакуум). С другой стороны с помощью соответствующего прибора, измеряющего магнитное поле, можно обнаружить, что в промежутке между обкладками существует магнитное поле (рис. 5.2).

Рис. 5.2 Иллюстрация возникновения тока смещения

Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение ток смещения. Максвелл определил плотность тока смещения в виде:

где ‑ вектор электрического смещения (именно название этого вектора дало название току смещения).

Теперь сумму тока проводимости и тока смещения можно назвать полным током. Его плотность:

Несмотря на кажущуюся общность, ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное поле. Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем электрическое поле. В диэлектриках ток смещения состоит из двух существенно различных слагаемых. Поскольку вектор смещения равен , то отсюда видно, что плотность тока смещения складывается из «истинного» тока смещения и тока поляризации ‑ величины, обусловленной движением связанных зарядов. Очевидно, токи поляризации должны возбуждать магнитное поле, поскольку по своей природе эти токи не отличаются от токов проводимости. Самое «интересное» физическое свойство заключено в слагаемом , которое не связано ни с каким движением зарядов, а обусловлено только изменением электрического поля. Другими словами, даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле. Ток смещения в вакууме не выделяет джоулева тепла. Ток поляризации выделяет теплоту, связанную с трением в процессе поляризации диэлектрика.

Открытие Максвеллом тока смещения является чисто теоретическим выводом, однако данное открытие по своей значимости для физики аналогично открытию электромагнитной индукции Фарадеем.

Источник

Вынужденные электрические колебания

date image2015-07-14
views image8630

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Лекция № 16

Чтобы вызвать вынужденные колебания нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС.

Пусть внешняя ЭДС изменяется со временем по закону

Присоединенный к контуру внешний источник тока совершает положительную работу и, следовательно, увеличивает энергию контура только в том случае, когда в контуре течет ток в направлении электрического поля , созданного этим источником тока. И наоборот, внешняя ЭДС производит отрицательную работу и уменьшает энергию контура, если ток течет в направлении противоположном .

Если при наличии внешней ЭДС в контуре с сопротивлением установились незатухающие колебания, то это значит, что результирующая работа внешнего источника за один период колебаний является положительной и в точности равна потерям энергии в контуре за этот промежуток времени (причем подкачка энергии извне производится так же непрерывно, как она расходуется на различные потери).

Найдем амплитуду, частоту и фазу силы тока при вынужденных колебаниях.

Запишем для нашего контура уравнение ІІ закона Кирхгофа. Это уравнение будет отличаться от аналогичного уравнения, полученного нами при рассмотрении свободных затухающих колебаний, наличием в правой части внешней ЭДС

Разделив его на , с учетом того, что и , получим

Применим введенные ранее обозначения и . Тогда

По своей форме это уравнение совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний.

Для нахождения общего решения этого неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и прибавить к нему частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение аналогичного однородного уравнения было получено нами ранее при рассмотрении свободных затухающих колебаний. Это решение имеет вид:

Это слагаемое играет существенную роль только в начальной стадии процесса. Потом эти колебания затухают (т.к. в выражении содержится экспоненциальный множитель) и по прошествии достаточного времени становятся очень малыми. Поэтому этими колебаниями пренебрегаем и считаем, что общее решение рассматриваемого неоднородного дифференциального уравнения равно его частному решению.

Частное решение этого уравнения имеет вид

Этот вывод и все преобразования аналогичны преобразованиям произведенным нами ранее при рассмотрении уравнения вынужденных механических колебаний.

Входящие в это выражение и соответственно равны

Подставив в эти выражения вместо и вместо , получим

Таким образом, уравнение вынужденных электрических колебаний заряда в контуре имеет вид

Разделив это выражение на емкость конденсатора, получим уравнение вынужденных электрических колебаний напряжения на обкладках конденсатора.

Подставив в уравнение вместо выражение (1), получим

Для того, чтобы найти закон изменения со временем силы тока в таком контуре, необходимо продифференцировать по выражение для заряда переносимого в контуре, т.е.

Обозначим . Тогда, с учетом того, что , получим

Подставив в формулу вместо выражение (1), получим

Как и в случае механических колебаний существует электрический резонанс. Амплитуда вынужденных колебаний тока резко возрастает, когда , и достигает максимального значения при , независимо от величины .

Резонансные кривые для силы тока изображены ниже.

Они соответствуют резонансным кривым для скорости при механических колебаниях.

Резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура .

Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси , равен нулю: при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

Резонансная частота для заряда и напряжения на конденсаторе равна согласно определению

Подставив вместо и , получим

Резонансные кривые для напряжения на конденсаторе сходны с резонансными кривыми, получающимися для механических колебаний.

При резонансные кривые стремятся к напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику с ЭДС .

Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше величина , т.е. чем меньше активное сопротивление и чем больше индуктивность контура.

В колебательном контуре можно получить незатухающие колебания только тогда, когда удается осуществить непрерывную компенсацию потерь энергии в контуре. Для этого необходимо, чтобы внешний источник тока совершал положительную работу.

Если частота внешней ЭДС сильно отличается от частоты собственных колебаний контура, то у внешнего источника между ЭДС и силой тока существует разность фаз, вследствие чего за одну часть периода совершается положительная, а за другую – отрицательная работа.

При резонансе ток, текущий через внешний источник, находится в фазе с ЭДС и в течение всего периода совершается только положительная работа.

Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при включении внешнего напряжения последовательно с элементами колебательного контура. Вынужденные колебания можно также осуществить, подключив источник напряжения параллельно колебательному контуру.

Явление резонанса используется в технике для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно

Настроив контур на одну из частот , т.е. подобрав соответствующим образом параметры и , можно получить на конденсаторе напряжение, превышающее величину данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.

Переменный ток

Квазистационарные токи

Законы Ома и Кирхгофа, установленные для постоянного тока, остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющегося тока и напряжения, если эти изменения происходят не очень быстро.

Скорость распространения электромагнитных возмущений в электрической цепи равна скорости света.

Если за время, необходимое для передачи возмущения в самую отдаленную точку цепи, сила тока изменяется незначительно, то мгновенные значения силы тока во всех участках цепи будут практически одинаковы. Токи, удовлетворяющие такому условию, называются квазистационарными.

Читайте также:  Протоколы сопротивления изоляции постоянного тока

Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности запишется как

где — длина цепи;

— скорость распространения электромагнитных волн;

Ток промышленной частоты квазистационарен для цепей длиной до 100 км. Пусть к зажимам сопротивления приложено напряжение, изменяющееся по закону

где — амплитудное значение напряжения.

Тогда, согласно условию квазистационарности, по закону Ома

Таким образом, между амплитудными значениями силы тока и напряжения имеется соотношение:

Переменный ток, текущий через индуктивность

Подадим переменное напряжение на концы индуктивности с пренебрежимо малыми значениями сопротивления и емкости. В индуктивности потечет переменный ток, который приведет к возникновению ЭДС самоиндукции.

Уравнение закона Ома для неоднородного участка цепи запишется в виде

Это уравнение можно записать несколько иначе:

Проинтегрировав, это выражение получим

Обозначим через , тогда

Сопоставив выражение с выражением, связывающим амплитудные значения тока и напряжения , получим, что роль сопротивления в данном случае играет величина . Эта величина носит название реактивного индуктивного сопротивления или просто индуктивного сопротивления. Обозначается оно через :

В нашем случае все приложенное напряжение приложено к индуктивности, следовательно

Заменив через , получим

Сравнивая полученное выражение с выражением для силы тока в индуктивности, мы видим, что падение напряжения на индуктивности опережает по фазе ток, текущий через индуктивность на .

Если направить ось токов горизонтально, то векторная диаграмма цепи будет иметь вид:

Переменный ток, текущий через емкость

Подадим переменное напряжение на емкость. Сопротивлением подводящих проводов и индуктивностью цепи пренебрежем. Тогда напряжение на конденсаторе будет равно внешнему напряжению, т.е.

Умножим обе части равенства на , тогда

Продифференцировав по , найдем, с учетом того, что ,

Обозначим через , тогда

Сопоставив выражение с выражением, связывающим амплитудные значения токов и напряжений , мы видим, что роль сопротивления в данном случае играет величина . Она называется реактивным сопротивлением. Обозначается оно через .

Для постоянного тока , следовательно . Это значит, что постоянный ток через конденсатор течь не может.

Так как в рассматриваемом случае все приложенное напряжение приложено к емкости, то

Заменив через , получим

Сравнивая полученное выражение с выражением для силы тока в конденсаторе (2), мы видим, что падение напряжения на емкости отстает по фазе от тока на .

Векторная диаграмма цепи будет иметь вид:

Цепь переменного тока, содержащая емкость, индуктивность и сопротивление.

Подадим на концы цепи, составленной из последовательно соединенной емкости, индуктивности и сопро-тивления, переменное напряжение частоты .

В цепи возникнет переменный ток той же частоты, амплитуда и фаза которого определяется величиной , и .

Построим векторную диаграмму этой цепи.

Падение напряжения на сопротивлении будет равно , а фаза напряжения совпадает с фазой тока.

Падение напряжения на индуктивности, амплитудное значение которого равно , опережает ток, как мы уже знаем, на . Поэтому вектор повернут относительно оси токов против часовой стрелки на угол .

Падение напряжения на емкости с амплитудой отстает от тока по фазе, как мы уже знаем, на . Следовательно, вектор должен быть повернут относительно оси токов на угол по часовой стрелке.

Сложив вектора , и , получим вектор приложенного внешнего напряжения, с амплитудой . Этот вектор образует с осью токов угол , величина которого равна

Как следует из диаграммы,

Величина называется полным сопротивлением цепи.

Величина называется реактивным сопротивлением.

В зависимости от соотношения и ток в цепи или отстает от внешнего напряжения или опережает его. Если , т.е , изменения тока происходят синфазно . Этому условию удовлетворяет частота .

При этом и . и противоположно направлены.

Это явление носит название резонанса напряжений, а соответствующая частота называется резонансной частотой.

Векторная диаграмма для этого случая изображена ниже.

Явление резонанса напряжений характерно тем, что полное сопротивление оказывается чисто активным и имеет наименьшую при данных параметрах цепи величину.

Резонанс токов

Рассмотрим цепь, образованную параллельно включенной емкостью и индуктивностью. Подадим на нее переменное напряжение, изменяющееся по закону

Силы токов в параллельных ветвях равны

Как следует из этих выражений, токи и находятся в противофазе ( отстает от на , а опережает на ).

Ток в неразветвленной части цепи

При ток в неразветвленной части цепи будет равен нулю, хотя токи и в отдельных ветвях могут быть очень велики. Это явление называется резонансом токов. Из условия для резонансной частоты получается такое же значение, что и при резонансе напряжений:

Отсюда определение: явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные индуктивное и емкостное сопротивления, при приближении частоты вынуждающей ЭДС к резонансной частоте контура называется резонансом токов.

Соотношения между токами и при резонансе можно изобразить наглядно с помощью векторной диаграммы.

При построении диаграмм токов вектора токов нужно откладывать относительно оси напряжений. Как мы уже отмечали, отстает от на , а опережает на . При резонансе длины векторов обоих токов одинаковы и результирующий ток равен нулю.

Рассмотрим явление резонанса токов для цепи содержащей , и , включенных по следующей схеме.

Силы токов в параллельных ветвях равны

Сила тока в неразветвленной части цепи равна

Итак, резонанс токов характерен тем, что полное сопротивление цепи оказывается активным и имеет наибольшую возможную при данных параметрах цепи величину. При этом токи и значительно превышают ток , текущий через источник и вся мощность выделяется на активном сопротивлении цепи .

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Как мы уже знаем, мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока

где — разность фаз между током и напряжением.

Из тригонометрии нам известно, что

График зависимости представлен ниже.

Среднее значение, относительно которого колеблется мгновенная мощность,

Ранее при рассмотрении цепи переменного тока, содержащей , и , мы получим формулу

Из тригонометрии нам известно, что

Величина, стоящая в знаменателе, как мы знаем, называется полным сопротивлением цепи. Обозначается буквой . Тогда

Подставив это значение косинуса в формулу для , получим

Сравнив эту формулу с формулой мощности, выделяемой в цепи постоянного тока, , мы видим, что

Эта величина называется эффективным значением силы тока.

По аналогии величина носит название эффективного (или действующего) напряжения.

Эти понятия введены потому, что мгновенное значение силы переменного тока непрерывно изменяется, а ее среднее значение равно нулю. Поэтому для измерения переменных токов решили использовать их тепловые действия.

Дейтвующей или эффективной силой переменного тока называется сила такого постоянного тока, который в том же проводнике и за то же время выделит такое же количество теплоты, как и данный переменный ток.

С использованием действующих значений формула для средней мощности переменного тока формула (3) примет вид:

Входящее в эту формулу значение носит название коэффициента мощности.

Если реактивное сопротивление цепи равно нулю, т.е. , то, согласно формуле (4), и, следовательно, .

При чисто реактивном сопротивлении цепи, т. е. при и средняя мощность, выделяемая в цепи, равна нулю.

В технике стремятся сделать как можно больше. При малом для выделения в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большой силы. При этом возникают потери в проводящих проводах и приходится увеличивать их сечение.

Источник

Вынужденные колебания. Переменный ток

Дадим определение понятию вынужденных колебаний.

Вынужденные колебания – это процессы, которые происходят в электрических цепях под воздействием периодического источника тока.

Основным отличием вынужденных колебаний по сравнению с собственными колебаниями в электрических цепях является то, что они являются незатухающими. Неизбежные потери энергии компенсируются за счет внешнего источника периодического воздействия, который не позволяет колебаниям затухать.

Что такое переменный ток?

Переменный ток — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.

Рассмотрим случай, когда электрическая цепь способна совершать собственные свободные колебания с некоторой частотой ω 0 . Предположим, что к этой цепи подключен внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω .

Частота свободных колебаний в электрической сети ω 0 будет определяться параметрами этой сети. Вынужденные колебания, которые установятся при подключении внешнего источника ω , будут происходить на частоте этого внешнего источника.

Частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу после включения внешнего источника, а спустя некоторое время Δ t . По порядку величины это время будет равно времени затухания свободных колебаний в сети τ .

Цепи переменного тока

Цепи переменного тока – это такие электрические цепи, в которых под воздействием периодического источника тока происходят установившиеся вынужденные колебания.

Рассмотрим устройство колебательного контура, в который включен источник тока с напряжением, изменяющимся по периодическому закону:

e ( t ) = ε 0 cos ω t,

где ε 0 – амплитуда, ω – круговая частота.

Фактически, это будет R L C -цепь.

Рисунок 2 . 3 . 1 . Вынужденные колебания в контуре.

Будем считать, что для изображенной на этом рисунке электрической цепи выполняется условие квазистационарности. Это позволит нам записать закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений:

R J + q C + L d J d t = ε 0 c o c ω t.

Величину L d J d t принято называть напряжением на катушке индуктивности. Фактически, это ЭДС самоиндукции катушки, которую мы для простоты вычислений перенесли с противоположным знаком в левую часть уравнения из правой.

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:

u R + u C + u L = e ( t ) = ε 0 cos ω t.

где u R ( t ) , u C ( t ) и u L ( t ) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами U R , U C и U L . Напряжения при установившихся вынужденных колебаниях изменяются с частотой внешнего источника переменного тока ω .

Векторная диаграмма токов и напряжений

Для решения уравнения вынужденных колебаний мы можем использовать достаточно наглядный метод векторных диаграмм. Для этого используем векторную диаграмму, на которой с помощью векторов изобразим колебания определенной заданной частоты ω .

Давайте посмотрим, как построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рисунок 2 . 3 . 2 . Векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображены гармонические колебания A cos ( ω t + φ 1 ) , B cos ( ω t + φ 2 ) и их суммы C cos ( ω t + φ ) .

Наклон векторов к горизонтальной оси определяется фазой колебаний φ 1 и φ 2 , а длины векторов соответствуют амплитудам колебаний A и B . Относительный фазовый сдвиг определяет взаимную ориентацию векторов: ∆ φ = φ 1 — φ 2 . Для того, чтобы построить вектор, изображающий суммарное колебание, нам необходимо использовать правило сложения векторов: C → = A → + B → .

Читайте также:  Постоянный ток соединение звезда

При вынужденных колебаниях в электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений и токов нам необходимо знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для любого участка цепи.

Источник переменного тока может быть подключен к:

  • катушке индуктивности L ;
  • резистору с сопротивлением R ;
  • конденсатору с емкостью С .

Рассмотрим эти три примера подробнее. Будем считать, что напряжение на резисторе, катушке и конденсаторе во всех трех случаях равно напряжению внешнего источника переменного тока.

Резистор в цепи переменного тока

J R R = u R = U R cos ω t ; J R = U R R cos ω t = I R cos ω t

Мы обозначили амплитуду тока, который протекает через резистор, через I R . Соотношение R I R = U R выражает связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе. Фазовый сдвиг в этом случае равен нулю. Физическая величина R – это активное сопротивление на резисторе.

Конденсатор в цепи переменного тока

u C = q C = U C cos ω t

J C = d q d t = C d u C d t = C U C ( — ω sin ω t ) = ω C U C cos ω t + π 2 = I C cos ω t + π 2 .

Соотношение между амплитудами тока I C и напряжения U C : 1 ω C I C = U C .

Ток опережает по фазе напряжение на угол π 2 .

Физическая величина X C = 1 ω C — это емкостное сопротивление конденсатора.

Источник



Закон изменения тока цепи при вынужденных колебаниях

последовательная RLC-цепь

параллельная RLC-цепь

Выведем дифференциальное уравнение, описывающее закон изменения тока в последовательной \(RLC\)-цепи .

Напряжения \(,,,\) соответственно, на резисторе \(R,\) конденсаторе \(C\) и катушке индуктивности \(L\) выражаются формулами \[ <\left( t \right) = RI\left( t \right),>\;\; <\left( t \right) = \frac<1>\int\limits_0^t ,>\;\; <\left( t \right) = L\frac<><

>.> \] Из второго закона Кирхгофа следует, что \[\left( t \right) + \left( t \right) + \left( t \right) = E\left( t \right),\] где \(E\left( t \right)\) − электродвижущая сила (э.д.с.) источника питания.

В случае постоянной э.д.с. \(E\) после подстановки выражений для \(,\) и \(,\) и последующего дифференцирования получаем следующее дифференциальное уравнение: \[\frac<<I\left( t \right)>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>I\left( t \right) = 0.\] Если ввести обозначения \(2\beta = <\large\frac\normalsize>,\;\omega _0^2 = <\large\frac<1><>\normalsize>,\) то уравнение записывается в виде \[\frac<<I>><>> + 2\beta \frac<><
> + \omega _0^2I = 0.\] Данное дифференциальное уравнение совпадает с уравнением, описывающим затухающие колебания грузика на пружинке . Следовательно, в последовательной \(RLC\)-цепи при определенных значениях параметров также могут возникать затухающие колебания.

Теперь рассмотрим параллельную \(RLC\)-цепь и выведем для нее аналогичное дифференциальное уравнение.

По первому закону Кирхгофа полный ток будет равен сумме токов через сопротивление \(R,\) катушку индуктивности \(L\) и конденсатор \(C\) (рисунок \(2\)): \[\left( t \right) + \left( t \right) + \left( t \right) = I\left( t \right).\] Учитывая, что \[ <= \frac,>\;\;\; <= \frac<1>\int\limits_0^t ,>\;\;\; <= C\frac<><

>,> \] для случая постоянного полного тока \(I\left( t \right) = \) получаем следующее дифференциальное уравнение \(2\)-го порядка относительно переменной \(V:\) \[ <\frac + \frac<1>\int\limits_0^t + C\frac<><
> = ,>\;\; <\Rightarrow C\frac<<V>><>> + \frac<1>\frac<><
> + \frac<1>V = 0.> \] Как видно, мы снова приходим к уравнению, описывающему затухающие колебания. Таким образом, колебательный режим может возникать и в параллельных \(RLC\)-цепях .

Выше мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающие колебания в последовательном \(RLC\)-контуре , которое записывается как \[\frac<<I>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>I = 0.\] Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид \[ <\lambda ^2>+ \frac\lambda + \frac<1><> = 0.\] Его корни вычисляются по формулам: \[ <<\lambda _<1,2>> = \frac<< - \frac \pm \sqrt <\frac<<>><<>> — \frac<4><>> >> <2>> = < - \frac<<2L>> \pm \sqrt <<<\left( <\frac<<2L>>> \right)>^2> — \frac<1><>> > = < - \beta \pm \sqrt <<\beta ^2>— \omega _0^2> ,> \] где величина \(\beta = \large\frac<<2L>>\normalsize\) называется коэффициентом затухания , а \(<\omega_0>\) − резонансной частотой колебательного контура.

В зависимости от значений параметров \(R, L, C\) могут возникнуть три режима.

три режима затухания электрических колебаний

определение ширины резонансной кривой

Если колебательный контур содержит генератор с периодически изменяющейся э.д.с., то в нем устанавливаются вынужденные колебания . Если э.д.с. \(E\) источника тока изменяется по закону \[E\left( t \right) = \cos \omega t,\] то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в последовательной \(RLC\)-цепи записывается в виде \[ <\frac<<q\left( t \right)>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>q\left( t \right) = \frac<1>\cos \omega t>\;\; <\text<или>\;\;\frac<<q>><>> + 2\beta \frac<><
> + \omega _0^2q = \frac<<>>\cos \omega t,> \] где \(q\) − заряд конденсатора, \(2\beta = \frac,\;\omega _0^2 = \frac<1><>.\)

Данное уравнение аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника, рассмотренного на странице Механические колебания . Его общее решение представляет собой сумму двух слагаемых − общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При этом общее решение однородного уравнения описывает затухающий переходный процесс, по истечении которого в системе устанавливаются вынужденные колебания . Эти вынужденные колебания будут происходить по закону \[ = <\frac<<>><> \right)>^2> + 4<\beta ^2><\omega ^2>> >>\cos \left( <\omega t + \varphi >\right) > = <\frac<<>> <<\omega \sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\cos \left( <\omega t + \varphi >\right),> \] где фаза \(\varphi\) определяется формулой \[ <\varphi = \arctan \left( < - \frac<<2\beta \omega >><<\omega _0^2 - <\omega ^2>>>> \right) > = <\arctan \frac<<\omega L - \frac<1><<\omega C>>>>.> \] Зная закон изменения заряда \(q\left( t \right),\) легко найти закон изменения тока \(I\left( t \right):\) \[ ><

> > = < - \frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\sin\left( <\omega t + \varphi >\right) > = <\frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\cos\left( <\omega t - \theta >\right),> \] где введен угол \(\theta,\) равный \(\theta = — \left( <\varphi + \frac<\pi ><2>> \right).\) Угол \(\theta\) показывает отставание колебаний тока \(I\left( t \right)\) по отношению к колебаниям напряжения источника питания \(E\left( t \right) = \cos \omega t.\)

Амплитуда тока \(\) и сдвиг фаз \(\theta\) определяются формулами \[ <= \frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >> = \frac<<>>,>\;\;\; <\theta = \arctan \frac<<\omega L - \frac<1><<\omega C>>>>.> \] Величина \(Z = \sqrt <+ <<\left( <\omega L - \large\frac<1><<\omega C>>\normalsize> \right)>^2>> \) называется полным сопротивлением или импедансом контура. Она состоит из омического сопротивления \(R\) и реактивного сопротивления \(<\omega L - \large\frac<1><<\omega C>>>\normalsize\) Импеданс колебательного контура в комплексной форме записывается как \[Z = R + i\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right).\] Из полученных формул видно, что амплитуда установившихся колебаний тока будет максимальной когда \[\omega L = \frac<1><<\omega C>>\;\;\text<или>\;\;\omega = <\omega _0>= \frac<1> <<\sqrt >>.\] При этом условии в колебательном контуре наступает резонанс . Резонансная частота \(<\omega_0>\) равна частоте свободных колебаний в контуре и не зависит от сопротивления \(R.\)

зависимость амплитуды тока установившихся колебаний от отношения частот при разных значениях сопротивления

зависимость амплитуды тока установившихся колебаний от отношения частот при разных значениях емкости

Резонансные свойства колебательного контура характеризуются добротностью \(Q,\) которая численно равна отношению резонансной частоты \(<\omega_0>\) к ширине резонансной кривой \(\Delta\omega\) на уровне убывания амплитуды в \(\sqrt 2\) раз (см. выше рисунок \(4\)).

В последовательном колебательном контуре добротность вычисляется по формуле \[Q = \frac<1>\sqrt <\frac> .\] Для параллельной \(RLC\)-цепи добротность определяется обратным выражением: \[Q = R\sqrt <\frac> .\]

Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);

Закон изменения напряжения на резисторе \(\left( t \right)\) и на катушке индуктивности \(\left( t \right)\).

Последовательная \(RL\)-цепь описывается дифференциальным уравнением \[L\frac<><

> + RI = .\] В соответствии с общей теорией, решением данного уравнения является сумма общего решения однородного уравнения \(\) и частного решения неоднородного уравнения \(:\) \(I = + .\) Общее решение однородного уравнения \[L\frac<><
> + RI = 0\] выражается функцией \[\left( t \right) = At>>,\] где \(A\) − постоянная интегрирования.

Решение неоднородного уравнения \(\) соответствует установившемуся режиму, при котором ток в цепи определяется лишь омическим сопротивлением \(R:\) \( = \frac<<>>.\) Тогда полный ток будет изменяться по закону \[I\left( t \right) = + = At>> + \frac<<>>.\] Постоянная \(A\) определяется из начального условия \(I\left( \right) = 0.\) Следовательно, \[ <0 = A \cdot 0>> + \frac<<>>,>\;\; <\Rightarrow A = - \frac<<>>.> \] Итак, после замыкания цепи ток будет изменяться по закону \[ >>t>> + \frac<<>> > = <\frac<<>>\left( <1 - t>>> \right) > = <\frac<<200>><<100>>\left( <1 - ><<50>>t>>> \right) > = <2\left( <1 - >> \right)\;\left[ \text \right].> \] График \(I\left( t \right)\) показан на рисунке \(7.\)

изменение тока в RL-цепи

изменение напряжения на резисторе и катушке индуктивности RL-цепи

Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);

Закон изменения напряжения на резисторе \(\left( t \right)\) и конденсаторе \(\left( t \right)\).

Эта задача похожа на предыдущую и отличается от нее лишь типом электрической цепи. В данной задаче рассматривается \(RC\)-цепь.

Согласно \(2\)-му закону Кирхгофа \[\left( t \right) + \left( t \right) = ,\] где напряжение на резисторе равно \[\left( t \right) = I\left( t \right)R = RC\frac<>><

>.\] В результате получаем следующее дифференциальное уравнение для описания переходного процесса в \(RC\)-цепи: \[RC\frac<>><
> + = .\] Решение этого уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного уравнения \(V_\text<одн>\) и частного решения неоднородного уравнения \(.\) Однородное уравнение имеет общее решение в виде \[ >><
> + = 0,>\;\; <\Rightarrow \frac<>><
> = — \frac<1><>,>\;\; <\Rightarrow \int <\frac<>><<>>> = — \frac<1><>\int

,>\;\; <\Rightarrow \ln = — \frac<>,>\;\; <\Rightarrow > = A<>\normalsize>>,> \] где \(A\) − постоянная интегрирования, зависящая от начального условия.

Частное решение неоднородного уравнения соответствует установившемуся режиму, при котором \(<\large\frac<>><

>\normalsize> = 0.\) Тогда напряжение на резисторе будет равно нулю и все напряжение будет приложено к конденсатору, то есть \( = .\) Таким образом, изменение напряжения на конденсаторе описывается выражением \[\left( t \right) = A<>\normalsize>> + .\] С учетом начального условия \(\left( \right) = 0\) находим постоянную \(A:\) \[0 = A \cdot 1 + ,\;\; \Rightarrow A = — .\] Следовательно, закон изменения напряжения на конденсаторе будет выглядеть так: \[ <\left( t \right) = — <>\normalsize>> + > = <\left( <1 - <>\normalsize>>> \right) > = <200\left( <1 - >> \right)\;\left[ \text <В>\right].> \] Напряжение на резисторе определяется формулой \[ <\left( t \right) = RC\frac<>><
> > = \frac<
>\left( <1 - <>\normalsize>>> \right) > = <\cancel \cdot \frac<1><\cancel><>\normalsize>> > = <<>\normalsize>> = 200>\;\left[ \text <В>\right].> \] Ток в \(RC\)-цепи будет изменяться по закону \[ I\left( t \right) = \frac<<\left( t \right)>> = \frac<<>><>\normalsize>> = \frac<<200>><<100>>> = 2>\;\left[ \text \right]. \] Графики изменения напряжений \(\left( t \right),\) \(\left( t \right)\) и тока \(I\left( t \right)\) показаны на рисунках \(9\) и \(10.\)

Источник