Задачи по электротехнике резонанс токов

Примеры расчета электрических цепей в режиме резонанса

Пример 7.1

Рассчитать параметры , последовательного колебательного контура по заданной резонансной частоте , полосе пропускания и сопротивлению контура . Определить напряжение на входе и напряжение на всех элементах контура, если известны: ток в контуре , частота , ширина полосы пропускания , активное сопротивление .

Решение

Добротность контура связана с абсолютным значением полосы пропускания по формуле:

Характеристическое сопротивление контура:

Напряжение на входе контура:

Напряжение на активном сопротивлении, индуктивности и ёмкости соответственно равны:

Пример 7.2

Последовательный контур настроен в резонанс. Сопротивление конденсатора . Добротность катушки . Определить напряжение на конденсаторе, если напряжение приложенное к контуру, . Определить показание вольтметра с сопротивлением в схеме рис.7.7.

Решение

При резонансе добротность катушки будет равна добротности контура:

Напряжение на конденсаторе:

При подключении вольтметра параллельно к емкости в контур внесутся дополнительные потери. На рис. 7.8 показана схема замещения, на которой параллельный участок, «конденсатор–вольтметр» заменен эквивалентным последовательным соединением , где

Так как емкостное сопротивление контура практически не изменилось , то не изменится и резонансная частота контура.

Определим ток в контуре:

Показания вольтметра определим по следующей формуле:

Пример 7.3

Решение

Построим векторную диаграмму напряжений, совмещённую с векторной диаграммой токов. При построении следует учитывать существующий в цепи режим резонанса напряжений, то есть вектор входного тока должен совпадать по фазе с вектором входного напряжения . Треугольники токов и напряжений подобны. Одинаковые углы показаны на диаграмме (рис. 7.10). Этот факт используется при решении задачи.

Зная значение активной мощности, определяем значение сопротивления :

По закону Ома определяем ток . Из треугольника напряжений определяем угол .

Из треугольника токов определяем .

Сопротивление ёмкости определяем по закону Ома:

Ток определим как геометрическую сумму и :

Пример 7.4

Решение

Волновое сопротивление контура:

Сопротивление ветвей параллельного контура:

Определим максимальные значения токов в ветвях по закону Ома:

Полное сопротивление контура является резистивным и равно:

Ток в неразветвлённой части цепи равен:

Пример 7.5

Решение

В параллельном колебательном контуре в режиме резонанса токов равны реактивные составляющие токов параллельных ветвей в силу равенства реактивных проводимостей этих ветвей ( ). Следовательно, для данной цепи справедливо соотношение:

Реактивные токи замыкаются в параллельном контуре, и во входной цепи протекает только активный ток:

На векторной диаграмме (рис. 7.13) ток представлен геометрической суммой активной и реактивной составляющих. Из диаграммы следует:

Мощность, потребляемая цепью, выделяется на сопротивлении , т.е.:

Напряжение на параллельном колебательном контуре:

Из условия резонанса для параллельного контура имеем:

Подставляем в последнее выражение численные значения и определяем величину модулей реактивного сопротивления катушки:

Из решения следует, что резонанс токов может наступить при двух значениях индуктивного сопротивления.

Пример 7.6

Решение

Определим амплитуду напряжения генератора:

Выражаем и рассчитываем значение тока в ветви с генератором напряжения:

Определим входное сопротивление параллельного контура:

Для контура с малыми потерями:

Определим характеристическое сопротивление контура:

Определяем добротность контура:

Амплитуду тока в контуре определяем исходя из следующих соотношений:

Источник

Резонанс переменного электрического тока

Знание физики и теории этой науки напрямую связано с ведением домашнего хозяйства, ремонтом, строительство и машиностроением. Предлагаем рассмотреть, что такое резонанс токов и напряжений в последовательном контуре RLC, какое основное условие его образования, а также расчет.

Что такое резонанс?

Определение явления по ТОЭ: электрический резонанс происходит в электрической цепи при определенной резонансной частоте, когда некоторые части сопротивлений или проводимостей элементов схемы компенсируют друг друга. В некоторых схемах это происходит, когда импеданс между входом и выходом схемы почти равен нулю, и функция передачи сигнала близка к единице. При этом очень важна добротность данного контура.

Соединение двух ветвей при резонансе

Признаки резонанса:

1. Составляющие реактивных ветвей тока равны между собой IPC = IPL, противофаза образовывается только при равенстве чистой активной энергии на входе;
2. Ток в отдельных ветках, превышает весь ток определенной цепи, при этом ветви совпадают по фазе.

Иными словами, резонанс в цепи переменного тока подразумевает специальную частоту, и определяется значениями сопротивления, емкости и индуктивности. Существует два типа резонанса токов:

1. Последовательный;
2. Параллельный.

Для последовательного резонанса условие является простым и характеризуется минимальным сопротивлением и нулевой фазе, он используется в реактивных схемах, также его применяет разветвленная цепь. Параллельный резонанс или понятие RLC-контура происходит, когда индуктивные и емкостные данные равны по величине, но компенсируют друг друга, так как они находятся под углом 180 градусов друг от друга. Это соединение должно быть постоянно равным указанной величине. Он получил более широкое практическое применение. Резкий минимум импеданса, который ему свойствен, является полезным для многих электрических бытовых приборов. Резкость минимума зависит от величины сопротивления.

Схема RLC (или контур) является электрической схемой, которая состоит из резистора, катушки индуктивности, и конденсатора, соединенных последовательно или параллельно. Параллельный колебательный контур RLC получил свое название из-за аббревиатуры физических величин, представляющих собой соответственно сопротивление, индуктивность и емкость. Схема образует гармонический осциллятор для тока. Любое колебание индуцированного в цепи тока, затухает с течением времени, если движение направленных частиц, прекращается источником. Этот эффект резистора называется затуханием. Наличие сопротивления также уменьшает пиковую резонансную частоту. Некоторые сопротивление являются неизбежными в реальных схемах, даже если резистор не включен в схему.

Применение

Практически вся силовая электротехника использует именно такой колебательный контур, скажем, силовой трансформатор. Также схема необходима для настройки работы телевизора, емкостного генератора, сварочного аппарата, радиоприемника, её применяет технология «согласование» антенн телевещания, где нужно выбрать узкий диапазон частот некоторых используемых волн. Схема RLC может быть использована в качестве полосового, режекторного фильтра, для датчиков для распределения нижних или верхних частот.

Резонанс даже использует эстетическая медицина (микротоковая терапия), и биорезонансная диагностика.

Принцип резонанса токов

Мы можем сделать резонансную или колебательную схему в собственной частоте, скажем, для питания конденсатора, как демонстрирует следующая диаграмма:

Схема для питания конденсатора

Переключатель будет отвечать за направление колебаний.

Схема: переключатель резонансной схемы

Конденсатор сохраняет весь ток в тот момент, когда время = 0. Колебания в цепи измеряются при помощи амперметров.

Схема: ток в резонансной схеме равен нулю

Направленные частицы перемещаются в правую сторону. Катушка индуктивности принимает ток из конденсатора.

Когда полярность схемы приобретает первоначальный вид, ток снова возвращается в теплообменный аппарат.

Теперь направленная энергия снова переходит в конденсатор, и круг повторяется опять.

В реальных схемах смешанной цепи всегда есть некоторое сопротивление, которое заставляет амплитуду направленных частиц расти меньше с каждым кругом. После нескольких смен полярности пластин, ток снижается до 0. Данный процесс называется синусоидальным затухающим волновым сигналом. Как быстро происходит этот процесс, зависит от сопротивления в цепи. Но при этом сопротивление не изменяет частоту синусоидальной волны. Если сопротивление достаточно высокой, ток не будет колебаться вообще.

Обозначение переменного тока означает, что выходя из блока питания, энергия колеблется с определенной частотой. Увеличение сопротивления способствует к снижению максимального размера текущей амплитуды, но это не приводит к изменению частоты резонанса (резонансной). Зато может образоваться вихретоковый процесс. После его возникновения в сетях возможны перебои.

Расчет резонансного контура

Нужно отметить, что это явление требует весьма тщательного расчета, особенно, если используется параллельное соединение. Для того чтобы в технике не возникали помехи, нужно использовать различные формулы. Они же Вам пригодятся для решения любой задачи по физике из соответствующего раздела.

Очень важно знать, значение мощности в цепи. Средняя мощность, рассеиваемая в резонансном контуре, может быть выражена в терминах среднеквадратичного напряжения и тока следующим образом:

R _ср= I 2 _конт * R = (V 2 _конт / Z 2 ) * R.

При этом, помните, что коэффициент мощности при резонансе равен cos φ = 1

Сама же формула резонанса имеет следующий вид:

Нулевой импеданс в резонансе определяется при помощи такой формулы:

Резонансная частота колебаний может быть аппроксимирована следующим образом:

Как правило, схема не будет колебаться, если сопротивление (R) не является достаточно низким, чтобы удовлетворять следующим требованиям:

Для получения точных данных, нужно стараться не округлять полученные значения вследствие расчетов. Многие физики рекомендуют использовать метод, под названием векторная диаграмма активных токов. При правильном расчете и настройке приборов, у Вас получится хорошая экономия переменного тока.

Источник

Задачи по электротехнике резонанс токов

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами
(резонанс напряжений)

Для цепи на рис.1 имеет место

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.

2.В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.

3. — случай резонанса напряжений (рис. 2,в).

Условие резонанса напряжений

При этом, как следует из (1) и (2), .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.

Пусть, например, в цепи на рис. 1 . Тогда , и, соответственно, .

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае , и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений L_Э и C_Э .

Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно записать

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); и для цепи на рис. 1 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:

— и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

или с учетом (4) и (5) для можно записать:

Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
(резонанс токов)

Для цепи рис. 4 имеем

В зависимости от соотношения величин и , как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.

— случай резонанса токов (рис. 5,в).

Условие резонанса токов или

При этом, как следует из (8) и (9), . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.

Например, для цепи на рис. 6 имеем

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид

откуда, в частности, находится резонансная частота.

Резонанс в сложной цепи

Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного сопротивления или входной проводимости , определяет наличие у соответствующих этому условию уравнений относительно нескольких вещественных корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.

При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления или входной реактивной проводимости следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням , т.е. или . Тогда корни уравнения дадут значения частот, которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения — значения частот, при которых возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов напряжений и токов чередуются.

В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного сопротивления данной цепи имеет вид

Из решения уравнения получаем частоту , соответствующую резонансу напряжений, а из решения уравнения — частоту , соответствующую резонансу токов.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется?
2. Что такое резонанс токов, чем он характеризуется?
3. В чем физическая сущность резонансных режимов?
4. На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты?
5. В цепи на рис. 1 R=1 Ом; L=10 мГн; С=10 мкФ. Определить резонансную частоту и добротность контура.

Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось соотношение ?

Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор С3 заменен на резистор R3.

Источник



3.3 Резонанс в электрической цепи

3.3 Резонанс в электрической цепи

При резонансе характер нагрузки становится чисто активным, напряжение на входе цепи совпадает с током цепи

Решение задач резонанса в электрической цепи

Задача 3.3.1 Для последовательного колебательного контура (рис. 3.3.1) найти наибольшее напряжение на конденсаторе при изменении его емкости.

Рис. 3.3.1 Последовательный колебательный контур

Рассчитать и построить зависимость напряжения на конденсаторе от его емкости, если U =16 В, R = 50 Ом, L = 10 мГ, ω = 104 с –1 .

Решение. Ток в последовательном контуре

I = U Z = U R 2 + ( X L − X C ) 2 .

Напряжение на емкости

U C = I ⋅ X C = U ⋅ X C R 2 + ( X L − X C ) 2 . (1)

Максимум напряжения на емкости найдем из условия

d d X C U ⋅ X C R 2 + ( X L − X C ) 2 = 0 ; d d X C X C ⋅ [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 = 0 ; [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 d d X C X C + X C ⋅ d d X C [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 = 0, [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 + X C ⋅ ( − 1 2 ) ⋅ [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 − 1 ⋅ 2 ( X L − X C ) ( − 1 ) = 0 ; [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 ⋅ [ 1 + X C ( X L − X C ) R 2 + ( X L − X C ) 2 ] = 0 ; R 2 + X L 2 − X L X C R 2 + ( X L − X C ) 2 = 0,

видно, что напряжение на конденсаторе достигает максимума при

R 2 + X L 2 − X L X C = 0 ; X C max = R 2 + X L 2 X L = R 2 + ( ω L ) 2 X L = 50 2 + ( 10 4 ⋅ 10 − 2 ) 2 10 4 ⋅ 10 − 2 = 125 О м .

U C = U ⋅ X C max R 2 + ( X L − X C max ) 2 = 16 ⋅ 125 50 2 + ( 100 − 125 ) 2 = 35,8 В .

Кривая U_C(Х_C), рассчитанная по формуле (1), приведена на рис. 3.3.2.

Рис. 3.3.2 Зависимость напряжения на конденсаторе от его емкости в последовательном колебательном контуре

Задача 3.3.2 В последовательной резонансной цепи (рис. 3.3.1) R = 2 Ом, C = 100 мкФ, L = 40 мГн.

Определить резонансную частоту ω₀ добротность контура, полосу пропускания и зависимость полосы пропускания от добротности контура. Построить резонансную кривую I/I_max = f(ω/ω₀) при U =10 В. Построить векторные диаграммы напряжений при частотах ω₀/2, ω₀, 2 ω₀.

Решение. Резонансная частота контура

ω 0 = 1 L C = 1 40 ⋅ 10 − 3 ⋅ 100 ⋅ 10 − 3 = 500 с − 1 .

Q = X C 0 R = 1 ω 0 C ⋅ R = X L 0 R = ω 0 L R = 500 ⋅ 40 ⋅ 10 − 3 2 = 10.

Резонансная кривая может быть построена из уравнения

I = U R 2 + ( X L − X C ) 2 = U R 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 .

Преобразуем это выражение

I = U R 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 = U R 1 + 1 R 2 ( ω ω 0 ω 0 L − ω 0 ω 1 ω 0 C ) 2

в относительных единицах Ω = ω/ω₀

I ( Ω ) = I max 1 + Q 2 ( Ω − 1 Ω ) 2 , (2)

где ток при резонансе

Задаваясь разными значениями ω/ω₀, находим I/I_max. Результаты расчетов сведены в табл. 1.

Источник