Задача расчет магнитной цепи при постоянных токах

Задача расчет магнитной цепи при постоянных токах

Указанная в предыдущей лекции формальная аналогия между электрическими и магнитными цепями позволяет распространить все методы и технику расчета нелинейных резистивных цепей постоянного тока на нелинейные магнитные цепи. При этом для наглядности можно составить эквивалентную электрическую схему замещения исходной магнитной цепи, с использованием которой выполняется расчет.

Нелинейность магнитных цепей определяется нелинейным характером зависимости , являющейся аналогом ВАХ и определяемой характеристикой ферромагнитного материала . При расчете магнитных цепей при постоянных потоках обычно используют основную кривую намагничивания. Петлеобразный характер зависимости учитывается при расчете постоянных магнитов и электротехнических устройств на их основе.

При расчете магнитных цепей на практике встречаются две типичные задачи:

— задача определения величины намагничивающей силы (НС), необходимой для создания заданного магнитного потока (заданной магнитной индукции) на каком — либо участке магнитопровода (задача синтеза или “прямая“ задача);

— задача нахождения потоков (магнитных индукций) на отдельных участках цепи по заданным значениям НС (задача анализа или “обратная” задача).

Следует отметить, что задачи второго типа являются обычно более сложными и трудоемкими в решении.

В общем случае в зависимости от типа решаемой задачи (“прямой” или “обратной”) решение может быть осуществлено следующими методами:

При этом при использовании каждого из этих методов первоначально необходимо указать на схеме направления НС, если известны направления токов в обмотках, или задаться их положительными направлениями, если их нужно определить. Затем задаются положительными направлениями магнитных потоков, после чего можно переходить к составлению эквивалентной схемы замещения и расчетам.

Магнитные цепи по своей конфигурации могут быть подразделены на неразветвленные и разветвленные. В неразветвленной магнитной цепи на всех ее участках имеет место один и тот же поток, т.е. различные участки цепи соединены между собой последовательно. Разветвленные магнитные цепи содержат два и более контура.

Регулярные методы расчета

Данными методами решаются задачи первого типа — ”прямые” задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета заданы конфигурация и основные геометрические размеры магнитной цепи, кривая (кривые) намагничивания ферромагнитного материала и магнитный поток или магнитная индукция в каком-либо сечении магнитопровода. Требуется найти НС, токи обмоток или, при известных значениях последних, число витков.

1. Прямая” задача для неразветвленной магнитной цепи

Решение задач подобного типа осуществляется в следующей последовательности:

1. Намечается средняя линия (см. пунктирную линию на рис.1), которая затем делится на участки с одинаковым сечением магнитопровода.

2. Исходя из постоянства магнитного потока вдоль всей цепи, определяются значения индукции для каждого — го участка:

3. По кривой намагничивания для каждого значения находятся напряженности на ферромагнитных участках; напряженность поля в воздушном зазоре определяется согласно

4. По второму закону Кирхгофа для магнитной цепи определяется искомая НС путем суммирования падений магнитного напряжения вдоль контура:

где — длина воздушного зазора.

2. “Прямая” задача для разветвленной магнитной цепи

Расчет разветвленных магнитных цепей основан на совместном применении первого и второго законов Кирхгофа для магнитных цепей. Последовательность решения задач данного типа в целом соответствует рассмотренному выше алгоритму решения “прямой” задачи для неразветвленной цепи. При этом для определения магнитных потоков на участках магнитопровода, для которых магнитная напряженность известна или может быть вычислена на основании второго закона Кирхгофа, следует использовать алгоритм

В остальных случаях неизвестные магнитные потоки определяются на основании первого закона Кирхгофа для магнитных цепей.

В качестве примера анализа разветвленной магнитной цепи при заданных геометрии магнитной цепи на рис. 2 и характеристике ферромагнитного сердечника определим НС , необходимую для создания в воздушном зазоре индукции .

Алгоритм решения задачи следующий:

1. Задаем положительные направления магнитных потоков в стержнях магнитопровода (см. рис. 2).

2. Определяем напряженность в воздушном зазоре и по зависимости для — значение .

3. По второму закону Кирхгофа для правого контура можно записать

откуда находим и по зависимости — .

4. В соответствии с первым законом Кирхгофа

Тогда , и по зависимости определяем .

5. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для искомой НС имеет место уравнение

Графические методы расчета

Графическими методами решаются задачи второго типа — “обратные” задачи. При этом в качестве исходных данных для расчета заданы конфигурация и геометрические размеры магнитной цепи, кривая (кривые) намагничивания ферромагнитного материала, а также НС обмоток. Требуется найти значения потоков (индукций) на отдельных участках магнитопровода.

Данные методы основаны на графическом представлении вебер — амперных характеристик линейных и нелинейных участков магнитной цепи с последующим решением алгебраических уравнений, записанных по законам Кирхгофа, с помощью соответствующих графических построений на плоскости.

1. “Обратная” задача для неразветвленной магнитной цепи

Решение задач подобного типа осуществляется в следующей последовательности:

1. Задаются значениями потока и определяют для них НС , как при решении “прямой” задачи. При этом следует стремиться подобрать два достаточно близких значения потока, чтобы получить , несколько меньшую и несколько большую заданной величины НС.

2. По полученным данным строится часть характеристики магнитной цепи (вблизи заданного значения НС), и по ней определяется поток, соответствующий заданной величине НС.

При расчете неразветвленных магнитных цепей, содержащих воздушные зазоры, удобно использовать метод пересечений, при котором искомое решение определяется точкой пересечения нелинейной вебер — амперной характеристики нелинейной части цепи и линейной характеристики линейного участка, строящейся на основании уравнения

где — магнитное сопротивление воздушного зазора.

2. “Обратная” задача для разветвленной магнитной цепи

Замена магнитной цепи эквивалентной электрической схемой замещения (см. рис. 3, на котором приведена схема замещения магнитной цепи на рис. 2) позволяет решать задачи данного типа с использованием всех графических методов и приемов, применяемых при анализе аналогичных нелинейных электрических цепей постоянного тока.

В этом случае при расчете магнитных цепей, содержащих два узла (такую конфигурацию имеет большое число используемых на практике магнитопроводов), широко используется метод двух узлов. Идея решения данным методом аналогична рассмотренной для нелинейных резистивных цепей постоянного тока и заключается в следующем:

1. Вычисляются зависимости потоков во всех — х ветвях магнитной цепи в функции общей величины — магнитного напряжения между узлами и .

2. Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа Соответствующие данной точке потоки являются решением задачи.

Итерационные методы расчета

Данные методы, сущность которых была рассмотрена при анализе нелинейных резистивных цепей постоянного тока, являются приближенными численными способами решения нелинейных алгебраических уравнений, описывающих состояние магнитной цепи. Как было отмечено выше, они хорошо поддаются машинной алгоритмизации и в настоящее время широко используются при исследовании сложных магнитных цепей на ЦВМ. При анализе относительно простых цепей, содержащих небольшое число узлов и нелинейных элементов в эквивалентной электрической схеме замещения (обычно до двух-трех), возможна реализация методов “вручную”.

В качестве примера приведем алгоритм расчета магнитной цепи на рис. 1, в которой при заданных геометрии магнитопровода, характеристике материала сердечника и величине НС F необходимо найти поток Ф.

В соответствии с пошаговым расчетом для данной цепи можно записать

Задаемся значением , вычисляем для -х участков магнитопровода , по кривой намагничивания находим , подсчитываем и по (1) определяем для следующего приближения и т.д., пока с заданной погрешностью не будет выполняться равенство .

Статическая и дифференциальная индуктивности катушки
с ферромагнитным сердечником

Пусть имеем катушку с ферромагнитным сердечником, представленную на рис. 4.

В соответствии с определением потокосцепления

и на основании закона полного тока , откуда

Из соотношений (2) и (3) вытекает, что функция качественно имеет такой же вид, что и . Таким образом, зависимости относительной магнитной проницаемости и индуктивности также подобны, т.е. представленные в предыдущей лекции на рис. 2 кривые и качественно аналогичны кривым и .

Статическая индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником

Если магнитную проводимость сердечника на рис. 4 обозначить через , то и , откуда

Используя соотношение (4), покажем влияние воздушного зазора на индуктивность катушки.

Пусть катушка на рис. 4 имеет воздушный зазор . Тогда полное магнитное сопротивление контура

Таким образом, воздушный зазор линеаризует катушку с ферромагнитным сердечником. Зазор, для которого выполняется неравенство , называется большим зазором.

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какие два типа задач встречаются при расчете магнитных цепей? Дайте им характеристику.
2. Какие существуют методы расчета магнитных цепей?
3. Какими методами решаются «обратные» задачи?
4. Как влияет воздушный зазор на индуктивность нелинейной катушки?
5. Что такое большой зазор?
6. В магнитной цепи на рис. 2 заданы и . Составить алгоритм расчета длины воздушного зазора .
7. Составить алгоритм итерационного расчета потока в воздушном зазоре магнитной цепи на рис. 2 при заданной НС .
8. Запишите закон электромагнитной индукции с использованием статической и дифференциальной индуктивностей.

Источник

Тема 9. Магнитное поле. Расчет магнитных цепей постоянного тока

В проводнике с током и в пространстве вокруг него возникает магнитное поле. При сильном токе его можно обнаружить с помощью магнитной стрелки. В постоянных магнитах оно создается в результате движения электронов по орбитам и вращений их вокруг своих осей. Это свойство тока характеризуют намагничивающей силой или магнитодвижущей силой (Fм). В системе СИ магнитодвижущая сила принимается численно равной силе тока. Если ток проходит по контуру или по катушке с числом витков w, то магнитодвижущая сила равна произведению тока на число витков: Fм = w·I. Интенсивность магнитного поля в каждой его точке определяется индукцией магнитного поля В, которая измеряется в теслах [Тл]. Индукцию магнитного поля в вакууме обозначают В_о. Наряду с вектором индукции нередко используется еще одна векторная характеристика магнитного поля – напряженность. Напряженность магнитного поля – вектор, его направление совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля, измеряется в единицах ампер – на метр [ ]. Зависимость между напряженностью магнитного поля и током устанавливается законом полного тока. Полным током называется алгебраическая сумма токов, пронизывающих поверхность, ограниченную замкнутым контуром.

Если напряженность поля на различных участках магнитной цепи не одинаковы, то МДС находится суммированием: Fм = Н₁·ℓ₁+Н₂·ℓ₂+…= ΣН·ℓ.

Произведение Нℓ называется магнитным напряжением, которое будет положительным, если вектор напряженности совпадает с направлением обхода контура. Магнитное напряжение измеряется в амперах.

Намагничивающая сила вдоль контура равна полному току, проходящему сквозь поверхность, ограниченную этим контуром: ΣНℓ = ΣI.

Важнейшей характеристикой магнитного поля является скалярная величина, называемая магнитным потоком Ф. Единицей магнитного потока является вебер [Вб]: «1 Вб – магнитный поток, пронизывающий поверхность площадью 1м², расположенную перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля с индукцией 1 Тл».

В большинстве случаев расчет магнитной цепи сводится к определению напряженности (Н), длины (ℓ), тока (I), числа витков (w) при заданном магнитном потоке Ф или индукции В, при этом должны быть указаны размеры и материалы всех участков магнитной цепи.

1. Проводим среднюю линию и по ней разбиваем цепи на однородные участки (одинаковое поперечное сечение, магнитная проницаемость…).

2. По формуле находим индукцию (В) для всех участков магнитной цепи.

3. Находим напряженность (Н), а затем магнитное напряжение (Н∙ℓ). Для участков, выполненных из ферромагнитных материалов, напряженность определяется по кривым намагничивания (табл.1), а для воздушных зазоров δ по формуле: , где µо = 4·π·10 –7 .

4. По закону полного тока рассчитывается намагничивающая сила:

Пример 1.Определить магнитное сопротивление магнитопровода (Рис.1), если длина сердечника ℓ₁ = 28 см, длина якоря ℓ₂ = 12 см, расстояние между якорем и сердечником ℓ₃ = 3 мм, площадь поперечного сердечника S = 0,00025 м². Относительная магнитная проницаемость материала сердечника и якоря µ = 2000.