Меню

Если энергия соленоида равна при силе тока в нем

Из закона Фарадея — Ленца следует выражение для ЭДС самоиндукции

Если L = const, то

Электродвижущая сила самоиндукции противодействует в соответствии с правилом Ленца изменению тока в контуре, замедляя его убывание или возрастание. Мерой инертности контура по отношению к изменению в нем тока является индуктивность контура.

Закон изменения силы тока в цепи (рис.16.1) при включении или отключении источника постоянного тока с ЭДС (Е) имеет вид

где I – сила тока в начальный момент времени (при t = 0), R – электрическое сопротивление цепи, L – ее индуктивность.

При замыкании цепи начальный ток I = 0 и зависимость силы тока от времени имеет вид

График этой зависимости показан на рис.16.2.

Рис.16.2 Рис.16.3

При отключении источника ЭДС (без изменения сопротивления R цепи) ток в цепи убывает по закону

График этой зависимости показан на рис. 16.3.

Взаимной индукцией называется явление возникновения электродвижущей силы в одном из контуров при изменении силы электрического тока в другом, индуктивно связанном с первым контуром (рис.16.4).

Если в контуре 1 течет ток силой I1, то магнитный поток, создаваемый этим током, пропорционален I1. Обозначим ту часть потока, которая пронизывает контур 2, Ф21.

где L21 – коэффициент пропорциональности.

Если ток I1 изменяется, то в контуре 2 индуктируется ЭДС Ei 2, которая, по закону Фарадея — Ленца, равна скорости изменения магнитного потока Ф21, созданного током I1 в первом контуре и пронизывающего второй:

Аналогично при протекании в контуре тока I2 магнитный поток (его поле на рис. 16.4 изображено пунктиром) пронизывает первый контур. Если Ф12 – часть этого потока, пронизывающего контур 1, то

Если ток I2 изменяется, то в контуре индуктируется ЭДС Ei1, равная скорости изменения магнитного потока Ф12, созданного током I2 во втором контуре и пронизывающего первый:

Коэффициенты пропорциональности L12 и L21 называются взаимной индуктивностью контуров. Можно показать, что если контуры находятся в неферромагнитной среде, то L12 = L21 = М.

Взаимная индуктивность М зависит от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и магнитной проницаемости окружающей контуры среды.

Единица измерения взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности – генри (Гн).

Выражение для ЭДС взаимной индукции при условии (L12 = L21 = М = = const):

Выражение для взаимной индуктивности двух соленоидов, намотанных на общий сердечник:

где и — плотность витков первой и второй катушек соответственно.

Энергия магнитного поля, связанного с током в проводнике, равна

Объемной плотностью энергии wm магнитного поля называется энергия этого поля, отнесенная к его объему:

где dWm – энергия, заключенная в малом объеме dV поля, который выбран таким образом, чтобы в его пределах поле можно было считать однородным. В изотропной, линейной и неферромагнитной среде

где В и Н – модули векторов магнитной индукции и напряженности в рассматриваемой точке поля.

Примеры решения задач

Задача 1. По соленоиду течет ток I = 2 А. Магнитный поток Фm, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 . 10 -6 Вб. Определить индуктивность соленоида, если он имеет N = 800 витков.

N = 800 витков

ному со всеми N витками соленоида, когда по нему идет ток, равный единице силы тока, т.е.

где y — потокосцепление, равное

Подставим численные значения и вычислим L:

Ответ: L = 1,6 . 10 -3 Гн.

Задача 2. Если сила тока, проходящего в некотором соленоиде, изменяется на 50 , то на концах соленоида возникает среднее значение ЭДС самоиндукции, равное 0,08 В. Найти индуктивность соленоида.

Дано: Решение

= const 1. По закону Фарадея — Ленца

L — ? где y — потокосцепление.

2. Потокосцепление равно y = L I, тогда , так как индуктивность соленоида не изменяется.

3. Если ток в соленоиде изменяется по произвольному закону, то выражает среднее изменение тока в единицу времени, тогда выражает среднее значение за интервал времени Dt.

Вычислим значение индуктивности:

Ответ: L = 1,6 . 10 -3 Гн.

Задача 3. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода d = 0,2 мм, диаметр соленоида D = 5 см. По соленоиду течет ток I = 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку соленоида, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.

d = 0,2 мм = 2 . 10 — 4 м

D = 5 см = 5 . 10 -2 м

rмеди = 1,7 . 10 -8 Ом . м

где R – сопротивление соленоида, а I – индукционный ток, текущий через соленоид при замыкании обмотки.

По закону Фарадея — Ленца

Интегрируя полученное выражение, получаем

где — начальное потокосцепление, — конечное.

Потокосцепление y пропорционально силе тока в соленоиде, следовательно,

так как ток в этот момент обратится в нуль.

Индуктивность соленоида равна

где l – длина соленоида.

где lпр – длина медного провода, S2 – его площадь.

lпр = p D N,

где p D – длина одного витка, N – число витков, S2 = – площадь сечения провода.

Подставим индуктивность и сопротивление в формулу заряда:

Длина соленоида находится из соотношения

где d – диаметр провода, а N – число витков соленоида (витки плотно прилегают друг к другу).

Подставим числа и вычислим

Ответ: q = 1,45 . 10 -4 Кл.

Задача 4. Соленоид с железным сердечником длиной 50 см и площадью сечения S = 10 см 2 имеет 1000 витков. Найти индуктивность этого соленоида при токах: 1) I = 0,1 А; 2) I = 0,2 А; 3) I = 2 А.

Читайте также:  При зарядке аккумулятора падает сила тока а напряжение растет

l = 50 см = 0,5 м

S = 10 см 2 = 10 -3 м 2

1) I = 0,1 А

2) I = 0,2 А

среда обладает свойством намагничиваться, то m ¹ 1. Железо является ферромагнетиком, оно сильно намагничивается при внесении в магнитное поле, mжелеза » 1. При протекании тока по соленоиду создается однородное магнитное поле, напряженность которого

Индукция магнитного поля ,

Магнитная проницаемость зависит от Н, а Н – от тока I. Зависимость μ от Н представлена на рис. 16.5.

Зная напряженность магнитного поля, созданного током I, можно найти индукцию магнитного поля В для данного значения напряженности, воспользовавшись графиком зависимости В от Н (см. прил.), а затем вычислить μ — магнитную проницаемость для данного тока I в соленоиде.

Из графика определяем

В1 = 0,8 Тл, В2 = 1,2 Тл и В3 = 1,6 Тл.

Вычислим значение .

Ответ: L1 = 8 Гн, L2 = 6 Гн, L3 = 0,8 Гн.

Задача 5. На соленоид с немагнитным сердечником длиной 0,2 м и площадью поперечного сечения 3 . 10 -3 м 2 надет проволочный виток. Число витков соленоида N1 = 320. Какая средняя ЭДС взаимоиндукции возникнет в витке, если ток соленоида I = 3 А выключить в течение Dt = 0,001 с.

S = 3 . 10 -3 м 2

Dt = 0,001 с

5) , DI = I2I1 = 0 – I1, m = 1 (сердечник немагнитный).

Задача 6. На один немагнитный сердечник намотаны две катушки, имеющие индуктивности L1 = 0,2 Гн и L2 = 0,8 Гн. Какой ток потечет во второй катушке, если ток I1 = 0,3 А в первой катушке выключить в течение 0,001 с. Сопротивление второй катушки R2 = 600 Ом.

Dt = 0,001 с

Решая эти три уравнения, получаем

Подставляя численные значения, находим

Ответ: I2 = 0,2 А.

Задача 7. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см 2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.

l = 50 см = 0,5 м

S = 2 см 2 = 2 . 10 -4 м 2

= 20 = 2 . 10 3

где — объем соленоида, — магнитная постоянная, = 4p ·10 -7 .

где В – индукция магнитного поля внутри соленоида, Н – напряженность.

Подставив в формулу энергии индуктивность и магнитную проницаемость, получим

Найдем величину Н

Н = 2 . 10 3 . 0,5 = 10 3 .

Тогда величину В можно найти из графика зависимости В от Н (см. прил.).

При Н = 10 3 В = 1,3 Тл.

Вычислим энергию магнитного поля

Ответ: Wт = 0,065 Дж.

Задача 8. При индукции магнитного поля В = 1 Тл объемная плотность энергии магнитного поля в железе wт = 200 . Какова магнитная проницаемость m железа в этих условиях?

Из второй формулы можно определить m непосредственно:

Вычислим m:

Ответ: m = 2000.

Задача 9. При некоторой силе тока плотность энергии магнитного поля соленоида (без сердечника) w = 0,2 . Во сколько раз увеличится плотность энергии поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный сердечник?

При одном и том же токе напряженность поля будет одна и та же.

Из формулы (1) следует

Из графика зависимости В от Н (см. приложение) находим

В2 = 1 Тл, В2 = Н.

Задача 10. Катушка имеет сопротивление R = 10 Ом и индуктивность L = 0,144 Гн. Через сколько времени после выключения в катушке возникнет ток, равный половине установившегося?

L = 0,144 Гн

где I – установившийся ток в катушке (начальный ток), I – ток в момент времени t, R – сопротивление катушки, L – ее индуктивность.

Источник

Если энергия соленоида равна при силе тока в нем

Самоиндукция является важным частным случаем электромагнитной индукции, когда изменяющийся магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции, создается током в самом контуре. Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то причинам изменяется, то изменяется и магнитное поле этого тока, а, следовательно, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур. В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая согласно правилу Ленца препятствует изменению тока в контуре.

Коэффициент пропорциональности в этой формуле называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью катушки. Единица индуктивности в СИ называется генри (Гн). Индуктивность контура или катушки равна , если при силе постоянного тока собственный поток равен :

.

В качестве примера рассчитаем индуктивность длинного соленоида, имеющего витков, площадь сечения и длину . Магнитное поле соленоида определяется формулой (см. § 1.17)

= μ,

где – ток в соленоиде, – число витков на единицу длины соленоида.

Магнитный поток, пронизывающий все витков соленоида, равен

Φ = = μ 2 .

ЭДС самоиндукции , возникающая в катушке с постоянным значением индуктивности, согласно закона Фарадея равна

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна индуктивности катушки и скорости изменения силы тока в ней.

Магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии. Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 1.21.1). Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Читайте также:  Схема измерения тока с помощью вольтметра

Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла. Если обозначить через полное сопротивление цепи, то за время Δ выделится количество теплоты .

Ток в цепи равен

Выражение для Δ можно записать в виде

Δ = –Δ = –Φ () Δ.

Эту формулу можно получить графическим методом, изобразив на графике зависимость магнитного потока Φ () от тока (рис. 1.21.2). Полное количество выделившейся теплоты, равное первоначальному запасу энергии магнитного поля, определяется площадью изображенного на рис. 1.21.2 треугольника.

Источник

Соленоид и электромагнит

В предыдущем параграфе мы изучали магнитные поля прямых проводников. Рассмотрим теперь проводник, свёрнутый в виде спирали, по которому идёт ток – соленоид (греч. «солен» – трубка). Расположим вдоль его оси лист картона и посыплем его железными опилками. На рисунке отчётливо видно, что опилки выстроились в виде замкнутых линий, наиболее часто расположенных внутри витков соленоида. Следовательно, магнитное поле внутри соленоида сильнее, чем вне его.

Намотаем теперь проволочную спираль на каркасе, располагая витки вплотную друг к другу – мы получим катушку (см. рисунки ниже). Включим ток и поднесём к катушке мелкие гвоздики – часть из них примагнитится. Если в неё вставить железный или стальной стержень – сердечник, то примагнитится заметно больше гвоздиков. Другими словами, происходит усиление магнитного поля.

Катушка из изолированной проволоки с железным сердечником внутри называется электромагнитом. При прочих равных условиях магнитное поле электромагнита всегда сильнее магнитного поля соленоида или катушки без сердечника.

Объясним усиление магнитного поля. Сначала ток намагничивает сердечник. Намагнитившись, он создаёт собственное поле, которое, складываясь с полем соленоида, образует новое, более сильное поле. Об этом мы судим по количеству притянувшихся гвоздиков.

Рассмотрим другие причины, влияющие на силу магнитного действия электромагнита. Вспомним, что для наблюдения силовых линий поля прямого проводника (см. § 10-а) мы использовали ток силой 5–10 А. При меньшей силе тока опилки будут плохо намагничиваться, и картинка получится нечёткой. Следовательно, магнитное поле электромагнита усиливается при увеличении силы тока в его проводнике.

Кроме того, при одной и той же силе тока поле электромагнита можно усилить, увеличив число витков проводника в его обмотке. Это объясняется тем, что магнитные поля, создаваемые каждым из витков, накладываются друг на друга и тем самым образуют новое, более сильное магнитное поле.

Познакомимся с ещё одним свойством электромагнита или соленоида – запасать электроэнергию. Проделаем опыт (см. схему). Две одинаковые лампы подключены параллельно к источнику тока. Верхняя лампа – через реостат, а нижняя – через электромагнит или соленоид. У них есть общее название – катушка индуктивности.

При замыкании выключателя лампа, соединённая с катушкой индуктивности, загорается позже, чем лампа, соединённая с реостатом (левый рисунок). Теперь разомкнём выключатель. В этот момент обе лампы не погаснут, а вспыхнут ещё ярче, правда, на очень короткое время (правый рисунок).

Более позднее загорание ближней к нам лампы объясняется так. При включении тока его энергия идёт не только на нагревание спирали лампы, но и на создание магнитного поля вокруг электромагнита. Однако по прошествии некоторого времени энергия тока будет целиком превращаться в теплоту, разогревая спираль лампочки настолько, что она начинает светиться.

При размыкании цепи ток в нижнем её проводе прекращается, и с этого момента реостат, катушка индуктивности и обе лампочки оказываются соединёнными друг с другом последовательно (мы это показали красным цветом на схеме). Поскольку лампочки кратковременно ярко вспыхнули, значит, в красной части цепи ненадолго возник источник тока. В его роли выступила катушка индуктивности. Магнитное поле вокруг неё стало исчезать, передавая свою энергию электронам в проводе, поэтому они приходят в движение. Это значит, что катушка становится источником тока.

Источник



Энергия магнитного поля

date image2015-01-07
views image7874

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

10. Соленоид длиной 20 см и диаметром 4 см имеет плотную трехслойную обмотку из провода диаметром 0,1 мм. По обмотке солено­ида течет ток 0,1 А. Зависимость В = f(H) для материала сердечника дана на рис. 10. Определить напряженность и индукцию поля в соле­ноиде, магнитную проницаемость сердечника, индуктивность соле­ноида, энергию и объемную плотность энергии поля соленоида.

Дано: l = 0,2 м; D = 0,04 м; k = 3; d = 10 -4 м; I = 0,1 А.

Найти: Н, В, μ, L, W, ω.

Решение. Поле внутри соленоида можно считать однород­ным. В этом случае напряженность поля равна: где I — сила тока в обмотке, — число витков,приходящихся на единицу длины соленоида, k — число слоев обмотки, d — диаметр провода. Тогда

По графику B = f(H) (рис. 10) нахо­дим, что напряженности 3000 А/м со­ответствует индукция 1,7 Тл. Исполь­зуя связь между индукцией и напря­женностью, определим магнитную проницаемость:

Рис. 10 где l — длина соленоида,

— площадь поперечного сечения соленоида.

С учетом того, что , получаем:

Объёмная плотность энергии магнитного поля:

Энергия магнитного поля соленоида: или

Подставляя числовые данные, получаем:

11. Сила тока в соленоиде равномерно возрастает от 0 до 10 А за 1 мин., при этом соленоид накапливает энергию 20 Дж. Какая ЭДС индуцируется в соленоиде?

Читайте также:  Опыт источник тока инфоурок

Дано: I = 0; I1 = 10 А; t = 60 с; W = 20 Дж.

Решение. Энергия магнитного поля соленоида с индуктив­ностью L, по которому течет ток I, равна: откуда

ЭДС самоиндукции, возникающая в соленоиде при изменении тока в его обмотке на за время Δt, будет:

12. Однослойный соленоид без сердечника длиной 20 см и диа­метром

4 см имеет плотную намотку медным проводом диаметром 0,1 мм. За 0,1 с сила тока в нем равномерно убывает с 5 А до 0. Опре­делить ЭДС самоиндукции в соленоиде.

Дано: l = 0,2 м; D = 0,04 м; d = 10 -4 м; t = 0,1 с; I = 5 А; I1 = 0.

Решение. ЭДС самоиндукции, возникающая при измене­нии тока ΔI в соленоиде за время Δt,

Индуктивность соленоида равна:

где μ — магнитная постоянная;

п — число витков на единице длины соленоида

(при плотной намотке );

l — длина соленоида;

— площадь поперечного сечения соленоида;

D — диаметр соленоида, μ = 1.

12. Обмотка соленоида имеет сопротивление 10 Ом. Какова его ин­дуктивность, если при прохождении тока за 0,05 с в нем выделяется количество теплоты, эквивалентное энергии магнитного поля соле­ноида?

Дано: R = 10 Ом; t = 0,05 с; W = Q.

Решение. Энергия магнитного поля соленоида равна:

количество теплоты Q определяется по закону Джоуля — Лен­ца:

По закону сохранения энергии

Откуда индуктивность равна

13. В плоскости, перпендикулярной магнитному полю напряжен­ностью

2 ∙ 10 5 А/м, вращается стержень длиной 0,4 м относительно оси, проходящей через его середину. В стержне индуцируется ЭДС 0,2 В. Определить угловую скорость стержня.

Дано: Н = 2 · 10 5 А/м; l = 0,4 м; εi = 0,2 В; μ = 1.

Решение. ЭДС индукции равна скорости изменения маг­нитного потока Φ, пересекаемого стержнем при вращении:

где — индукция магнитного поля;

dS — площадь, пересекаемая стержнем при вращении с угловой скоростью ω.

Половина стержня, имея радиус , при повороте на угол dφ пересечёт площадь , а весь стержень пересечёт площадь .

14. Соленоид с сердечником (μ = 1000) длиной 15 см и диаметром 4 см имеет 100 витков на 1 см длины и включен в цепь источника тока. За 1 мс сила тока в нём изменилась на 10 мА. Определить ЭДС самоиндукции, считая, что ток в цепи изменяется равномерно.

Дано: l = 0,15м; D = 0,04м; п = 10 4 м -1 ; μ = 1000; ΔI = 10 -2 A ;

Δt = 10 -3 с.

Решение. ЭДС самоиндукции равна:

Индуктивность соленоида вычисляется по формуле:

15. На концах крыльев самолета с размахом 20 м, летящего со скоростью 900 км/ч, возникает ЭДС индукции 0,06 В. Определить вертикальную составляющую напряженности магнитного поля Зем­ли.

Дано: l = 20 м; υ = 250 м/с; εi = 0,06 В.

Решение. Летящий самолет пересекает магнитное поле Земли, напряженность которого Н связана с индукцией В со­отношением . ЭДС индукции, возникающая при этом, равна скорости изменения магнитного потока Ф, пересекаемого крыльями самолета, Ф = BS.

За время dt самолет пересечет площадь .

16. Два конденсатора с ёмкостями 0,2 мкФ и 0,1 мкФ включены последовательно в цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц. Найти ток в цепи и падение напряжения на первом и втором конденсаторах.

Дано: С1 = 0,2 мкФ = 2∙10 7 Ф; С2 = 0,1 мкФ = 1∙10 7 Ф; U = 220 В; = 50 Гц.

Решение: Ёмкостное сопротивление конденсатора выражается формулой:

где (2) – циклическая частота колебаний. Подставим формулу (2) в (1), найдём сопротивления конденсаторов:

Так как конденсаторы соединены последовательно, то их общее сопротивление определяется выражением:

По закону Ома, для переменного тока , (4)

где (5) и (6) – эффективные значения силы тока и напряжения. Подставим (3) в (4), с учётом (5) и (6) находим ток в цепи:

Падение потенциала на первом и втором конденсаторе будет соответственно равен: ; .

; Подставим численные значения: В и

; Подставим численные значения: В

17. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно конденсатор ёмкостью 35,4 мкФ, сопротивление 100 Ом и катушка индуктивностью 0,7 Гн. Найти ток в цепи.

Дано: С = 35,4 ∙10 -6 Ф; U = 220 В; = 50 Гц; R = 100 Ом; L = 0,7 Гн.

Решение: По закону Ома для переменного тока, сила тока определяется выражением: (1), где (2) – полное сопротивление цепи; (3) и (4) — эффективные значения силы тока и напряжения. Подставим формулу (2) в (1) и, учитывая (3) и (4), получим:

. Подставим численные значения:

18. Индуктивность катушки 22,6 мГн и сопротивление R включены паралелльно в цепь переменного тока с частотой 50 Гц. Найти сопротивление, если известно, что сдвиг фаз между напряжением и током 60 0 .

Дано: L = 22,6 мГн = 22,6 ∙ 10 -3 Гн; = 50 Гц; = 60 0 .

Решение: Если индуктивность и сопротивление включены паралелльно в цепь переменного тока, то сдвиг фаз между напряжением и током определяется по формуле: (1) , где (2) – циклическая частота колебаний. Подставим формулу (2) в (1), получим: , откуда выразим сопротивление: . Подставим числовые значения:

Источник