Меню

Вычислить токи в схеме по кирхгофу

Расчет токов по правилам Кирхгофа

Полученные уравнения объединяем в систему уравнений. Количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Далее решаем систему уравнений любым известным способом.

Правильность расчета проверяется составлением уравнения баланса мощностей.

p.s. Правила Кирхгофа необязательно использовать в виде систем уравнений. Они справедливы для любого узла и для любого замкнутого контура электрической цепи.

Рассмотрим пример составления уравнений по законам Кирхгофа для разветвленной электрической цепи постоянного тока. Для данной электрической цепи необходимо рассчитать токи в каждой ветви. Для расчета токов будет пользоваться законами Кирхгофа.

Составляем уравнения по первому закону кирхгофа. Согласно алгоритма задаемся направлением токов в ветвях электрической схемы.

Количество уравнений равно количеству узлов минус один. У нас в схеме два узла. Значит будет одно уравнение. Т.к. все токи втекают в узел, то берем их с одним знаком, например плюс. В результате уравнение по первому закону будет таким.

Составим уравнения по второму правилу Кирхгофа. По алгоритму необходимо задаться обходом независимых контуров.

В электрической цепи три контура. Контура обозначены стрелочками.

Из них только любые два являются независимыми контурами.

Для каждого независимого контура составляем уравнение по второму закону Кирхгофа.

В первом уравнении перед током I1 поставлен минус, т.к. направление обхода первого (слева) контура не совпадает с направление протекающего тока I1.

Перед током I2 в первом уравнении поставлен плюс, т.к. направление обхода первого контура совпадает с направление протекающего тока I2.

Перед ЭДС 1 поставлен минус, т.к. направление действия ЭДС 1 не совпадает с направление обхода первого контура.

Во втором уравнении перед током I2 поставлен минус, т.к. направление обхода второго контура не совпадает с направление протекающего тока I2.

Перед током I3 во втором уравнении поставлен плюс, т.к. направление обхода второго контура совпадает с направление протекающего тока I3.

Перед ЭДС 2 поставлен минус, т.к. направление действия ЭДС 2 не совпадает с направление обхода второго контура.

Выполняем объединение уравнений в систему. Решаем систему уравнений с тремя неизвестными I1, I2, I3 любым известным способом.

Контрольные задания

Задача № 1
Расчет разветвленной цепи постоянного тока
с одним источником питания

Определить эквивалентное сопротивление электрической цепи постоянного тока (рис. 1, а) и распределение токов по ветвям. Вариант электрической цепи (включая ее участок 1–2 (рис. 1.1, би), ограниченный на схеме рис. 1.1, а пунктиром), положение выключателей В1 и В2 в схемах, величины сопротивлений резисторов и питающего напряжения U для каждого из вариантов задания представлены в табл. 1.1.

а б в г
д е
жи

Рис. 1.1. Варианты электрической цепи к задаче № 1

Исходные данные к задаче № 1

Вариант Величины Положение выключателей Схема участка, ограниченного пунктиром
, Ом , Ом , Ом , Ом , Ом , Ом , Ом , Ом , Ом , Ом , Ом , Ом U, В В1 В2
Рис. 1.1, а
Рис. 1.1, а
Рис. 1.1, а
Рис. 1.1, б
Рис. 1.1, б
Рис. 1.1, б
Рис. 1.1, в
Рис. 1.1, в
Рис. 1.1, в
Рис. 1.1, д
Рис. 1.1, д
Рис. 1.1, д
Рис. 1.1, ж
Рис. 1.1, д
Рис. 1.1, г
Рис. 1.1, г
Рис. 1.1, г
Рис. 1.1, е
Рис. 1.1, е
Рис. 1.1, е
Рис. 1.1, ж
Рис. 1.1, ж
Рис. 1.1, и
Рис. 1.1, и
Рис. 1.1, и

Неразветвленная электрическая цепь характеризуется тем, что на всех ее участках протекает один и тот же ток, а разветвленная содержит одну или несколько узловых точек, при этом на участках цепи протекают разные токи.

При расчете неразветвленных и разветвленных линейных электрических цепей постоянного тока могут быть использованы различные методы, выбор которых зависит от вида электрической цепи.

При расчетах сложных электрических цепей во многих случаях целесообразно производить их упрощение путем свертывания, заменяя отдельные участки цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением с помощью метода эквивалентных преобразований (метода трансфигураций) электрических цепей.

Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивлений (рис. 1.2) заменяется при этом цепью с одним эквивалентным сопротивлением (рис. 1.3), равным сумме всех сопротивлений цепи:

где – сопротивления отдельных участков цепи.

Рис. 1.2. Последовательное соединение сопротивлений Рис. 1.3. Эквивалентная схема замещения

При этом ток I в электрической цепи сохраняет неизменным свое значение, все сопротивления обтекаются одним и тем же током. Напряжения (падения напряжения) на сопротивлениях при их последовательном соединении распределяются пропорционально сопротивлениям отдельных участков:

При параллельном соединении сопротивлений все сопротивления находятся под одним и тем же напряжением U (рис. 1.4). Электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных сопротивлений, целесообразно заменить цепью с эквивалентным сопротивлением , которое определяется из выражения

Читайте также:  Допустимый ток кабеля 3х300

где – сумма величин, обратных сопротивлениям участков параллельных ветвей электрической цепи (сумма проводимостей ветвей цепи); – сопротивление параллельного участка цепи; – эквивалентная проводимость параллельного участка цепи, ; n – число параллельных ветвей цепи.

При параллельном соединении двух сопротивлений и эквивалентное сопротивление , а токи распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям, при этом .

Рис. 1.4. Параллельное
соединение сопротивлений

При смешанном соединении сопротивлений (рис. 1.5), т. е. при наличии участков электрической цепи с последовательным и параллельным соединением сопротивлений, эквивалентное сопротивление цепи определяется в соответствии с выражением

Рис. 1.5. Смешанное

Задача № 2
РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
МЕТОДОМ ЗАКОНОВ КИРХГОФА

Для электрической цепи постоянного тока (рис. 2.1), используя данные, приведенные в табл. 2.1, определить токи в ветвях резисторов методом уравнений Кирхгофа, режимы работы источников питания, составить баланс мощностей. Эдс и напряжения источников, сопротивления резисторов и положение выключателей для соответствующих вариантов задания приведены в табл. 2.1. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Рис. 2.1. Сложная электрическая цепь постоянного тока

Ход решения задачи

В любой электрической цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов, направленных к узлу разветвления, равна нулю: , где Ik – ток k-й ветви.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма эдс в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:

где – сопротивление участка цепи рассматриваемого контура; – ток в цепи сопротивления .

Метод уравнений Кирхгофа сводится к решению системы уравнений, количество которых равно числу неизвестных токов.

Источник

Примеры решения задач на законы Кирхгофа

Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.

Задача 1

Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи

Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:

Все эти три уравнения образуют систему

Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).

Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

Задача 2

Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2

Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.

На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными

Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины

Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.

Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.

Источник

Учебные материалы

Помощь студентам

Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур.

Расчет многоконтурной линейной электрической цепи, имеющей «b» ветвей с активными и пассивными элементами и «у» узлов, сводится к определению токов отдельных ветвей и напряжений на зажимах элементов, входящих в данную цепь.

Пассивной называется ветвь, не содержащая источника ЭДС. Ветвь, содержащая источник ЭДС, называется активной.

1-й закон Кирхгофа применяют к независимым узлам, т.е. таким, которые отличаются друг от друга хотя бы одной новой ветвью, что позволяет получить (y — I) уравнений.

Недостающие уравнения в количестве b — (у — I) составляют, исходя из второго закона Кирхгофа. Уравнение записывают для независимых контуров, которые отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью.

Читайте также:  Как измерить силу тока для лампочки

Порядок выполнения расчета:

  1. выделяют в электрической цепи ветви, независимые узлы и контуры;
  2. с помощью стрелок указывают произвольно выбранные положительные направления токов в отдельных ветвях, а также указывают произвольно выбранное направление обхода контура;
  3. составляют уравнения по законам Кирхгофа, применяя следующее правило знаков:
    1. токи, направленные к узлу цепи, записывают со знаком «плюс», а токи, направленные от узла,- со знаком «минус» (для первого закона Кирхгофа);
    2. ЭДС и напряжение на резистивном элементе (RI) берутся со знаком»плюс», если направления ЭДС и тока в ветви совпадают с направлением обхода контура, а при встречном направлении — со знаком «минус»;
  4. решая систему уравнений, находят токи в ветвях. При решении могут быть использованы ЭВМ, методы подстановки или определителей.

Отрицательные значения тока какой-либо ветви указывают на то, что выбранные ранее произвольные направления тока оказались ошибочными. Это следует учитывать, например, при построении потенциальной диаграммы, где следует знать истинное направление тока.

На рис. 4, а изображена исходная электрическая схема, для которой следует рассчитать токи в ветвях. Направления токов и обхода контуров приведены на рис. 4, б.

Система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид

Источник



Постоянный ток

Прочитав статейки про первый и второй законы Кирхгофа, уважаемый читатель может сказать: «Хорошо, MyElectronix, ты рассказал мне, конечно, интересные штуки, но что мне дальше с ними делать? Пока по твоим словам я заключил, что если я соберу ручками схему, то я смогу в каждом ее узле и в каждом контуре намерить вот такие вот зависимости. Это здорово, но я хотел бы рассчитывать схемы, а не просто наблюдать зависимости!»

Господа, все эти замечания абсолютно верные и в ответ на них можно лишь рассказать о расчете электрических схем с помощью законов Кирхгофа. Без лишних слов перейдем сразу к делу!

Начнем с самого простейшего случая. Он изображен на рисунке 1. Допустим, ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.

Господа, замечу сразу, эту задачу можно решить гораздо более простым способом, чем с применением законов Кирхгофа. Однако сейчас наша задача не искать оптимальные способы решения, а на наглядном примере рассмотреть методику применения законов Кирхгофа при расчете схем.

Рисунок 1 – Простая схема

В этой схеме мы можем видеть три контура. Если возник вопрос – а почему три, то рекомендую посмотреть статью про второй закон Кирхгофа . В той статье имеется практически такая же схема с наглядным пояснением методики расчета числа контуров.

Господа, хочу отметить один тонкий момент. Хоть контура и три, независимых из них только два. Третий контур включает в себя все остальные и не может считаться независимым. И вообще всегда при всех расчетах мы должны использовать только независимые контура. Не поддавайтесь искушению записать еще одно уравнение за счет этого общего контура, ничего хорошего не выйдет .

Итак, будем использовать два независимых контура. Для этого зададимся в каждом контуре направлением обхода контура. Как мы уже говорили, это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода каждого контура нарисуем синей стрелкой.

Далее зададимся направлением токов в ветвях: просто проставим его наугад. Не важно, угадаем мы сейчас направление или нет. Если угадали, то в конце расчета мы получим ток со знаком плюс, а если ошиблись – со знаком минус. Итак, обозначим токи в ветвях черными стрелочками с подписями I1, I2, I3.

Мы видим, что в контуре №1 направление токов I1 и I3, а также направление источника питания совпадают с направлением обхода, поэтому будем считать их со знаком плюс. В контуре №2 ток I2 совпадет с направлением обхода, поэтому будет со знаком плюс, а ток I3 направлен в другую сторону, поэтому будет со знаком минус. Запишем второй закон Кирхгофа для контура №1:

А теперь запишем этот же закон для контура №2:

Видим, что в контуре №2 нет источников питания, поэтому в левой части (где у нас согласно второму закону Кирхгофа стоит сумма ЭДС) у нас нолик. Итак, у нас есть два уравнения, а неизвестных-то у нас три (I1, I2, I3). А нам известно, что для нахождения трех неизвестных нужна система с тремя независимыми уравнениями. Где же взять третье недостающее уравнение? А, например, из первого закона Кирхгофа ! Согласно этому закону мы можем записать

Господа, теперь полный порядок, у нас есть три уравнения и три неизвестных и нам остается только решить вот такую вот систему уравнений

Читайте также:  Какая должна быть сила тока у зарядного устройства

Подставим конкретные числа. Все расчеты будем вести в кошерной системе СИ. Рекомендую всегда считать только в ней. Не поддавайтесь искушению подставлять куда-то миллиметры, мили, килоамперы и прочее. Возможно возникновение путаницы.

Решение таких систем рассматривается чуть ли не в начальной школе и, полагаю, не должно вызывать трудностей . Если что, есть куча математических пакетов, которые сделают это за вас, если вам лень самим ручками считай. Поэтому мы опустим процесс решения, а сразу приведем результат

Видим, что все токи получились у нас со знаком плюс. Это значит, что мы верно угадали их направление. Да, то есть токи в схеме текут именно в том направлении, как мы нарисовали стрелочки на рисунке 1. Однако из условия задачи необходимо найти не только токи через резисторы, но и падение напряжения на них. Как это сделать? Например, с помощью уже изученного нами закона Ома . Как мы помним, закон Ома связывает между собой ток, напряжение и сопротивление. Если нам известны любые две из этих величин, мы легко можем найти третью. В данном случае мы знаем сопротивление и ток, который течет через это сопротивление. Поэтому, используя вот эту формулу

находим напряжение на каждом резисторе

Заметим, господа, что напряжения на резисторах R2 и R3 равны между собой. Это и логично, поскольку они соединены между собой параллельно. Однако пока не будем на этом акцентировать большое внимание, рассмотрим это лучше в другой раз.

Итак, господа, мы решили эту простую задачку с помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома . Но это был совсем простой пример. Давайте попробуем решить более сложную задачу. Взгляните на рисунок 2.

Рисунок 2 – Схема посложнее

Схема выглядит внушительно, не правда ли? Возможно, вам даже не верится, что эту схему можно легко рассчитать. Однако, господа, уверяю вас, вы обладаете всеми необходимыми знаниями для расчета этой схемы, если уже изучили мои предыдущие статьи. Сейчас вы в этом убедитесь.

Для начала зададимся конкретными цифрами значений сопротивлений резисторов и напряжений источников.

Пусть Е1=15 В, Е2=24 В, R1= 10 Ом, R2 = 51 Ом, R3=100 Ом, R4=1 кОм, R5=10 Ом, R6=18 Ом, R7=10 кОм.

Найти, как и в прошлой задаче, требуется все токи в схеме и напряжения на всех резисторах.

В этой схеме мы можем видеть три независимых контура. Обозначим их римскими цифрами I, II, III. В каждом контуре зададимся направлением обхода. Они показаны синими стрелками.

Дальше как и в прошлый раз наугад расставим направления токов во всех ветвях и подпишем где какой ток. Видно, что всего у нас 6 ветвей и, соответственно, 6 разных токов (I1…I6).

Теперь запишем второй закон Кирхгофа для всех трех независимых контуров.

Второй закон Кирхгофа для контура I:

Второй закон Кирхгофа для контура II:

Второй закон Кирхгофа для контура III:

У нас есть три уравнения, однако неизвестных токов аж 6. Как и в прошлой задаче для получения недостающих уравнений запишем первые законы Кирхгофа для узлов.

Первый закон Кирхгофа для узла А:

Первый закон Кирхгофа для узла В:

Первый закон Кирхгофа для узла С:

Собственно, у нас теперь есть система из 6 уравнений с 6 неизвестными. Остается только решить эту систему

Подставляя числа, заданные в условии, получаем

Опуская решения за пределами статьи, приведем итоговый результат

Господа, мы видим, что почти все токи, кроме I4 получились у нас со знаками «минус». Это значит, что мы не угадали их направление, когда рисовали стрелочки на рисунке 2 . То есть все токи, кроме тока I4 на самом деле текут в противоположные стороны. А ток I4 течет так, как мы нарисовали. Хотя бы с ним мы угадали верно.

Теперь все по тому же закону Ома ровно как в прошлом примере рассчитаем напряжения на резисторах:

Вот и все, господа: схема рассчитана, а задачка решена. Таким образом, вы теперь обладаете весьма мощным инструментом по расчету электрических схем. С помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома вы сможете рассчитать весьма непростые схемы, найти величины токов и их направления, а также напряжения на всех нагрузках цепи. Более того, зная токи и напряжения вы легко сможете рассчитать и мощности, которые на этих резисторах выделяются, если воспользуетесь рекомендациями из моей предыдущей статьи .

На этом на сегодня все господа. Огромной вам всем удачи и успешных расчетов!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Источник