Меню

Векторный потенциал электрического тока

Векторный потенциал электрического тока

Одно из основных уравнений магнитостатики имеет вид:

Решение этого уравнения может быть определено как:

где вектор $\overrightarrow$ называют векторным потенциалом магнитного поля. Из векторного анализа хорошо известно тождество:

Многозначность векторного потенциала

Поле, в котором известен вектор индукции ($\overrightarrow$) может быть описано несколькими векторными потенциалами. Покажем, что если потенциал $\overrightarrow$описывает поле с индукцией $\overrightarrow$, то и другой потенциал $\overrightarrow$, в виде:

при любом $\varkappa$, описывает то же самое поле. Проведем операцию rot уравнения (4), получим:

так как $rot\left(grad\varkappa \right)\equiv 0.$

Многозначность векторного потенциала магнитного поля эквивалентна неоднозначности скалярного потенциала электростатического поля. Разница состоит в том, что потенциал в электростатике определяется с точностью до произвольной постоянной, тогда как векторный потенциал магнитостатического поля, определятся с точностью до произвольной функции определённого класса. Произвольность в выборе векторного потенциала показывает, что векторный потенциал имеет вспомогательное значение. Он не может быть измерен в эксперименте.

Готовые работы на аналогичную тему

Калибровка векторного потенциала

В магнитостатике в качестве калибровочного условия для векторного потенциала используют уравнение:

Уравнение (6) называют условием калибровки потенциала.

Уравнение для векторного потенциала

Запишем теорему о циркуляции вектора $\overrightarrow$ в дифференциальной форме:

где $\overrightarrow$ — вектор плотности тока, $<\mu >_0$ — магнитная постоянная. Подставим (2) в уравнение циркуляции (7), получим:

В координатном представлении уравнение (10) запишется в форме:

В системе уравнений (11) мы получили, что каждая компонента векторного потенциала подчиняется уравнению Пуассона. Следовательно, можно предположить, что решение уравнений (11) можно записать в виде:

где $r$ — радиус вектор, который проведен из элемента тока в точку наблюдения. В векторной форме (12) запишем как:

Для тока в прямолинейном проводнике (линейного тока), можно записать, что векторный потенциал равен:

где $L_i$- контуры токов, $I_i$- силы токов в контурах.

Если найден векторный потенциал, то используя его определение можно отыскать соответствующую ему индукцию магнитного поля. Введение векторного потенциала существенно облегчает изучение магнитного поля постоянных токов.

Задание: Найдите вектор-потенциал магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I.

Пусть начало координат находится в середине, рассматриваемого участка с током (рис.1).

Векторный потенциал и его связь с вектором индукции магнитного поля

Магнитное поле прямолинейного проводника с током обладает цилиндрической симметрией, следовательно. Координаты точки в данной плоскости характеризуются расстоянием r от оси Y и координатой y. В качестве основы для решения задачи используем выражение:

Из (1.1) следует, что не равна нулю только компонента $A_y\ne 0$. ($A_x=0<,A>_z=0$) так как ток течет только по оси Y. В таком случае запишем:

Для бесконечно длинного проводника векторный магнитный потенциал равен:

Задание: Используя результат решения задачи «Пример 1». Найдите индукцию магнитного поля, которое создается прямолинейным током проводника длинны L. Сила тока в проводнике I. (рис.1).

Из симметрии магнитного поля данного проводника с током индукцию достаточно вычислить в точках плоскости XY. Будем вычислять ее по формуле:

где из предыдущей задачи имеем:

Удобнее индукцию, опять таки из соображений симметрии поля, записать в цилиндрических координатах. При этом будем иметь, что не равна нулю только проекция $B_<\varphi >$, где $\varphi $ — угол цилиндрической системы координат. При этом можно записать, что:

На рис. 1 на плоскости XY $компонента\ B_<\varphi >$ направлена перпендикулярно плоскости в против оси Z. Подставим (2.2) в (2.3), получим:

Для бесконечного прямолинейного проводника имеем:

Источник

Векторный потенциал заданных токов

Раз В определяется токами, значит, и А тоже. Мы хотим теперь выразить А через токи. Начнем с нашего основного уравнения (14.2):

Маленькое изображение

откуда, конечно, следует

Маленькое изображение

Это уравнение для магнитостатики; оно похоже на уравнение

Маленькое изображение

Наше уравнение (14.12) для векторного потенциала станет еще более похожим на уравнение для φ, если переписать vХ(vхА), используя векторное тождество [см. уравнение (2.58) стр. 44]

Маленькое изображение

Поскольку мы выбрали v·А = 0 (и теперь вы видите, почему), уравнение (14.12) приобретает вид

Маленькое изображение

Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения

Маленькое изображение

и каждое из этих уравнений математически идентично уравнению

Маленькое изображение

Все, что мы узнали о нахождении потенциала для известного ρ, можно использовать для нахождения каждой компоненты А, когда известно j!

В гл. 4 мы видели, что общее решение уравнения электростатики (14.17) имеет вид

Тогда мы немедленно получаем общее решение для Ах:

Маленькое изображение

Маленькое изображениеи аналогично для Аy и Az. (Фиг. 14.2 напоминает вам о принятых нами обозначениях для г12 и dV2.) Мы можем объединить все три решения в векторной форме:

Маленькое изображение

(Вы можете при желании проверить прямым дифференцированием компонент, что этот интеграл удовлетворяет v·А=0, поскольку v·j=0, а последнее, как мы видели, должно выполняться для постоянных токов.)

Мы имеем, таким образом, общий метод вычисления магнитного поля от постоянных токов. Принцип такой: x-компонента векторного потенциала, возникающая от плотности тока j, точно такая же, как электрический потенциал φ, который был бы создан плотностью зарядов ρ, равной jх/с 2 , и аналогично для у- и z-компонент. (Этот принцип действует только для декартовых компонент. Например, «радиальная» компонента А не связана таким же образом с «радиальной» компонентой j.) Итак, из вектора плотности тока j можно найти А, пользуясь уравнениями (14.19), т. е. мы находим каждую компоненту А, решая три воображаемые электростатические задачи для распределений заряда ρ1= jх/с 2 , ρ2= jy/c 2 и ρ3= jz/с 2 . Затем мы находим В, вычислив разные производные от А, входящие в vХА. Немного сложнее, чем в электростатике, но идея та же. Сейчас мы проиллюстрируем теорию, вычислив векторный потенциал в нескольких частных случаях.

Источник

Векторный потенциал электрического тока

Потенци а лы электромагн и тного п о ля, величины, характеризующие электромагнитное поле. В электростатике векторное электрическое поле можно характеризовать одной скалярной функцией — потенциалом электростатическим. В общем случае для описания произвольного электромагнитного поля вместо двух векторов — магнитной индукции В и напряжённости электрического поля Е можно ввести две др. величины: векторный потенциал А (х, у, z, t) и скалярный потенциал j (x, у, z, t) (где х, у, z — координаты, t — время), при этом В и Е однозначно выражаются через А и j

В = rot А,

E = -grad j , (1)

где с — скорость света в вакууме.

Уравнения для потенциалов поля имеют более простую форму, чем исходные Максвелла уравнения, и поэтому введение П. э. п. упрощает задачу нахождения переменных электромагнитных полей. Существенное упрощение уравнений для П. э. п. возможно благодаря тому, что потенциалы определяются неоднозначно. Если вместо А и j выбрать новые потенциалы

А’ = А + grad c ,

где c произвольная функция координат и времени, то векторы В и Е, определяемые уравнениями (1), не изменятся. Инвариантность электромагнитного поля по отношению к преобразованиям потенциалов (2) носит название калибровочной или градиентной инвариантности. Калибровочная инвариантность позволяет наложить на П. э. п. дополнительное условие. Обычно таким дополнительным условием является условие Лоренца:

divA + , (3)

где e и m — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. При использовании условия (3) уравнения для П. э. п. в однородной среде ( e = const, m = const), получаемые из уравнений Максвелла, приобретают одинаковую форму:

здесь D —Лапласа оператор, r и j — плотности заряда и тока, a u = — скорость распространения электромагнитного поля в среде. Если r = 0 и j = 0, то П. э. п. удовлетворяют волновым уравнениям.

Уравнения (4) позволяют определить потенциалы А и j по известному распределению зарядов и токов, а следовательно, с помощью формул (1) — характеристики электромагнитного поля В и Е. Частные решения уравнений (4), удовлетворяющие причинности принципу, называют запаздывающими потенциалами. Запаздывающие потенциалы в точке с координатами х, у, z в момент времени t определяются плотностями заряда и тока в точке с координатами х’, у’, z’ в предшествующий момент времени t = t — R/ u , где

расстояние от источника поля до точки наблюдения.

Если заряды и токи распределены в конечной области пространства G, то запаздывающие потенциалы определяются суммированием (интегрированием) элементарных потенциалов от зарядов и токов, сосредоточенных в бесконечно малых объёмах dx’dy’dz’, с учётом времени запаздывания:

A (х, у, z, t) = ,

Через П. э. п. выражается функция Гамильтона Н заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле:

где p — импульс частицы, e и m — ее заряд и масса. Соответственно через П. э. п. выражается оператор Гамильтона (гамильтониан) в квантовой механике.

Источник



Векторный потенциал электромагнитного поля

Ве́кторный потенциа́л электромагни́тного по́ля (вектор-потенциал, магнитный потенциал) — в электродинамике, векторный потенциал, ротор которого равен магнитной индукции:

Читайте также:  Зачем нужны дополнительные полюса в двигателе постоянного тока

 \mathbf B = \operatorname<rot data-lazy-src=

Подстановка выражения для в

\operatorname<rot data-lazy-src=

согласно которому, так же как и в электростатике вводится скалярный потенциал. Однако теперь в вносят вклад и скалярный и векторный потенциал:

\mathbf E = - \operatorname<grad data-lazy-src=

\Phi = \oint\limits_L \mathbf\cdot \mathbf <dl data-lazy-src=

Обобщённый импульс

При движении частицы в электромагнитном поле полный импульс \mathbf<P data-lazy-src=

При изменении векторного потенциала возникает электрическое поле:

\mathbf E = - \frac<\partial \mathbf A data-lazy-src=