Меню

В реальном контуре амплитудное значение разрядного тока не изменяется

А. В. Ширяев лекции по дисциплине

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО СЕВЕРО–КАВКАЗСКИЙ ГОРНО–МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Факультет электронной техники

Кафедра электронных приборов

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ И РАДИОИЗМЕРЕНИЙ»

для направления подготовки 210100.62

«Электроника и наноэлектроника»

Свободные колебания в контуре

1. Колебательный контур без потерь

Колебательные контуры находят широкое применение в различных радиотехнических устройствах: радиопередатчиках, радиоприемниках, измерительной аппаратуре и т.д.

Колебательный контур (КК) – замкнутая цепь, состоящая из конденсатора С и катушки индуктивности L (см. рис. 1). Будем считать контур идеальным, т.е. состоящим только из реактивных элементов L и С. Влияние активного сопротивления потерь в конденсаторе и катушке индуктивности учитывать пока не будем.

Рисунок 1 – Возникновение колебаний в колебательном контуре

Рассмотрим процесс, протекающий в контуре. Для этого переведем переключатель П из положения 2 в 1, подключив конденсатор С к источнику постоянного напряжения U. Конденсатор зарядится от источника до напряжения U. Далее вновь переведем П в положение 2, заряженный конденсатор окажется подключенным к катушке L. Для наблюдения за дальнейшим процессом в контуре обратимся к рисунку 2.

Рисунок 2 – Диаграммы токов и напряжений в колебательном контуре

Сразу же после подключения С к L (момент времени t =0) появляется ток разряда i , протекающий в катушке. Ток увеличивается постепенно, так как быстрому его росту препятствует ЭДС самоиндукции E си = . Одновременно уменьшается напряжение на конденсаторе. К моменту t 1 разрядный ток i достигает амплитуды I m 0 , а напряжение на конденсаторе – нуля: конденсатор полностью разрядился. На этом процесс не прекращается. Несмотря на разряд конденсатора, ток i не исчезает. Быстрому уменьшению тока препятствует ЭДС самоиндукции, которая на данном этапе его поддерживает. Продолжая течь в том же направлении, ток i перезаряжает конденсатор. Полярность на его обкладках меняется на противоположную. В момент t 2 ток контура становится равным 0, а напряжение на конденсаторе – амплитуде U m 0 = U. Далее процесс протекает по аналогии с начальным моментом ( t = 0), но в противоположном направлении. В момент t 3 конденсатор вновь разрядится, а разрядный ток достигнет амплитудного значения.

По истечении одного периода колебания ( t = t 4 ) состояние контура вернется к исходному ( t = 0), и далее рассмотренный процесс будет периодически повторяться. Этот процесс протекает автономно, без какого – либо внешнего воздействия током или напряжением, и колебания в контуре можно назвать свободными или собственными.

Периодические колебания в контуре, как видно из рисунка 2 по своему характеру являются гармоническими: напряжение меняется по косинусоидальному закону: u = U m 0 Cosω 0 t , а ток в контуре – по синусоидальному i = I m 0 Sinω 0 t , т.е. напряжение и ток сдвинуты по фазе относительно друг друга на 90 0 .

Рассмотрим энергетические соотношения в колебательном контуре.

После заряда от источника U = U m 0 конденсатор получил определенное количество энергии:

которая будет сосредоточена в электрическом поле между обкладками конденсатора. По мере разряда конденсатора энергия электрического поля уменьшается из–за уменьшения напряжения на конденсаторе. Но одновременно увеличивается ток катушки, а следовательно, и ее магнитное поле. К моменту достижения амплитудного значения тока I m 0 энергия магнитного поля катушки окажется максимальной:

Далее с уменьшением тока контура энергия магнитного поля катушки индуктивности также уменьшается, а электрическая энергия конденсатора растет, т.к. увеличивается напряжение на его обкладках.

Таким образом, при колебаниях в контуре происходит периодический, непрерывный обмен энергией электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. За счет такой «перекачки» энергии и существуют колебания в контуре.

Так как в идеальном контуре потери отсутствуют, и его энергия не рассеивается, а лишь переходит из одного вида в другой, можно считать, что максимальная энергия электрического поля равна аналогичному значению энергии магнитного поля:

Найдем выражение для частоты свободных колебаний в контуре.

Определим амплитуду U m 0 как падение напряжения на одном из элементов контура, например на катушке индуктивности с индуктивностью L:

В уравнении (3) заменим значение U m 0 на (4) и после преобразований получим:

Отсюда находим частоту свободных колебаний:

Т.к. ω 0 = 2π f 0 , то (6)

Из (5) следует, что частота свободных колебаний контура зависит только от параметров контура – индуктивности катушки и емкости конденсатора.

Напряжение U m 0 является общим для С и L (рис. 1). Поэтому можно записать:

U m 0 = I m 0 ω 0 L = I m 0 / ω 0 C .

Отсюда следует, что на частоте свободных колебаний реактивные сопротивления катушки и конденсатора равны, т.е.

X L = ω 0 L = X C =1/ω 0 C (7)

Подставим в (7) значение частоты свободных колебаний из (5) и получим:

Х L = X C = = Z В (или ρ) (8)

Cопротивление Z В называется волновым сопротивлением контура и оно равно реактивному сопротивлению конденсатора или катушки индуктивности на частоте свободных колебаний.

2. Свободные колебания в реальном контуре с потерями

Идеальный контур состоит только из емкости и индуктивности, являющимися реактивными сопротивлениями, не вызывающими потерь. При отсутствии потерь амплитуда колебаний остается неизменной. Такие колебания называются незатухающими.

Реальный колебательный контур имеет определенные потери энергии. Потери энергии в реальном контуре вызваны следующими факторами:

1. Нагрев в проводниках. Эти потери увеличиваются с ростом частоты из–за поверхностного эффекта, при котором ток ВЧ проходит не по всему сечению провода, а лишь по тонкому поверхностному слою. В результате сопротивление проводника увеличивается, а, следовательно, проводник нагревается сильнее, чем при постоянном токе.

2. Нагрев твердых диэлектриков конденсаторов. Он вызван трением молекул при их колебаниях под влиянием переменного электрического поля.

3. Токи утечки в твердых диэлектриках, не являющихся идеальными диэлектриками.

4. Нагрев ферромагнитных сердечников катушек, используемых для увеличения индуктивности за счет вихревых токов (токи Фуко).

5. Вихревые токи в металлических элементах, находящихся в магнитном поле катушки индуктивности.

6. Естественное излучение ЭМВ неэкранированных контуров.

Все рассмотренные потери энергии в контуре удобно сосредоточить в некотором эквивалентном источнике потерь – активном сопротивлении R П , которое включается в контур (см. рис. 3).

Рисунок 3 – Колебательный контур с потерями

Поскольку в реальном колебательном контуре существуют потери, меняется характер свободных колебаний – они становятся затухающими . Это связано с тем, что если контур не содержит источника энергии (источника питания), то из–за непрерывных затрат энергии колебания затухают. Причем чем больше рассеивается энергия, тем быстрее колебания затухают (см. рис. 4). Частота колебаний остается неизменной, несмотря на уменьшение амплитуды.

Рисунок 4 – Затухание колебаний в контуре

Если активное сопротивление очень велико, то затухание настолько возрастает, что колебания вообще не возникают.

На рисунке 4 показаны затухающие колебания при меньшем ( а ) и большем ( б ) рассеяниях энергии.

Амплитуда колебаний в реальном колебательном контуре уменьшается по экспоненциальному закону:

где α коэффициент затухания; t – время.

Для характеристики свободных колебаний в реальном контуре вводят следующие параметры:

2. Добротность ; (т.к. ρ = n . 100 Ом, R=n . 1Ом; Q=100–300)

3. Декремент затухания ,

где U mt – амплитуда напряжения в данный момент t;

U m ( t + T 0 ) –амплитуда напряжения через период T 0 .

4. Логарифмический декремент затухания δ = lnΔ:

5. Постоянная времени контура τ к = :

Постоянная времени колебательного контура τ к – это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается от своего первоначального значения на 63% (в е раз). Считается, что колебания затухают почти полностью за (3–5) τ к .

Частота затухающих свободных колебаний несколько отличается от ранее полученной частоты свободных колебаний идеального контура . Однако это отличие очень незначительно, и практически им можно пренебречь.

Последовательный колебательный контур

1. Вынужденные колебания в последовательном контуре, условия их возникновения. Резонанс в последовательном контуре. Векторные диаграммы, характеризующие работу контура. Свойства контура при резонансе.

Свободные колебания в контуре являются затухающими. Чтобы получить непрерывные, т.е. незатухающие колебания в контуре (с постоянной амплитудой) к контуру необходимо подключить источник переменной ЭДС, который компенсировал бы к началу каждого периода потери энергии в активном сопротивлении контура.

Колебания при наличии источника ЭДС называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания отличаются от свободных:

1. они незатухающие;

2. их частота не зависит от параметров контура L и C, а определяется частотой генератора;

3. их амплитуда зависит не только от амплитуды колебаний, но и от разности частоты свободных колебаний от частоты колебаний генератора.

Рассмотрим вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре (ПОСКК).

Схема ПОСКК представлена на рисунке 1. К контуру подключен генератор гармонических колебаний G, внутреннее сопротивление которого будем считать равным 0. Это означает, что напряжение генератора можно считать постоянным, не зависящим от тока, протекающего по цепи контура.

Рисунок 1 – Схема последовательного колебательного контура

ПОСКК представим в виде четырехполюсника, на входных зажимах 1–1 которого действует напряжение генератора с амплитудой Е m , а с выходных зажимов 2–2 снимается напряжение U m c .

Под действием приложенного к контуру напряжения в нем устанавливаются вынужденные гармонические колебания. Ток i , протекающий по цепи, создает падение напряжения на ее элементах, как показано на рис. 1. Т.к. при последовательном соединении элементов напряжения на них складываются, то напряжение E m образуются как сумма трех напряжений: на катушке U mL , на конденсаторе – U mC , на сопротивлении – U mR , при этом каждое из этих напряжений изменяется по синусоидальному закону.

Для анализа работы контура построим векторные диаграммы (рис. 2). Представим ток контура вектора I m . Напряжение U mR на активном сопротивлении совпадает по фазе с током I m . Поэтому направления векторов U mR и I m также совпадают, причем длина вектора U mR определяется значением U mR = I m R п .

Рисунок 2 – Векторная диаграмма ПОСКК при ω > ω 0

Напряжение на катушке U mL = ωLI m опережает по фазе ток I m на 90 0 , поэтому вектор U mL повернут на 90 0 относительно вектора I m в сторону опережения. Наоборот, напряжение на конденсаторе U mC = (1/ ωC ) I m отстает по фазе от тока I m на 90 0 и вектор U mC cдвинут относительно вектора I m тоже на 90 0 . В итоге оказываются, что векторы U mL и U mC сдвинуты относительно друг друга на 180 0 , т.е. направлены противоположно.

Результирующее напряжение U m Х будет зависеть от соотношения реактивных сопротивлений Х L = ωL и Х С = 1/ωС. В связи с этим в ПОСКК возможны 3 случая:

Читайте также:  Токов анатолий все бои 2019

1. Сопротивление катушки больше сопротивления конденсатора: Х L > X C (следовательно, U mL > U mC , т.е. суммарное сопротивление Х имеет индуктивный характер). На рисунке 2 представлена рассматриваемая ситуация. Суммарное напряжение U m Х образуется как разностное напряжение абсолютных значений U mL и U mC : или в комплексной форме .

Результирующее напряжение между зажимами 1–1 контура можно рассматривать как сумму двух гармонических колебаний: напряжения U mR , совпадающее по фазе с током I m и напряжения U m Х , опережающего I m на 90 0 .

Первое из них ( U mR ) называется активной составляющей напряжения, а второе ( U m Х ) – реактивной. Складываясь, они образуют гармоническое колебание е = Е m sin(ωt+φ) .

Оно определяется суммой векторов U m Х и. Длина результирующего вектора равна амплитуде напряжения Е m , а угол между вектором Е m и вектором I m – начальной фазе φ.

2. Сопротивление конденсатора больше сопротивления катушки: Х С > X L . При таком соотношении U mC > U mL , и суммарное реактивное сопротивление Х оказывается емкостным. Векторная диаграмма, соответствующая рассматриваемому случаю, показана на рисунке 3, б .

Рисунок 3 – Векторные диаграммы ПОСКК при ω 0 ( б ) и ω = ω 0 ( в )

Вектор суммарного напряжения U m Х совпадает по направлению с вектором напряжения на конденсаторе U m С . В этом случае суммарный вектор E m отстает от вектора I m на угол φ .

3. Реактивные сопротивления конденсатора и катушки равны, т.е. Х 0 L = X 0 C .

Векторная диаграмма для этого случая показана на рисунке 3, в . В этом случае суммарное реактивное сопротивление Х=0 и результирующее сопротивление контура оказывается активным, несмотря на наличие в нем реактивных элементов.

Такой режим работы контура, при котором реактивная составляющая его сопротивления обращается в нуль и результирующее сопротивление становится активным, называется резонансом.

Напряжения на реактивных элементах равны: U m 0 C = U m 0 L и за счет противоположного фазового сдвига на 180 0 взаимно компенсируются. Поэтому суммарное реактивное напряжение контура (см. рис. 3):

U m 0Х = U m 0 L – U m 0С = 0.

В последовательном контуре резонанс наступает на определенной частоте ω 0 , при которой суммарное реактивное сопротивление равно 0, т.е.:

Источник

В реальном контуре амплитудное значение разрядного тока не изменяется

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями .

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими . Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω.

Если частота ω свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника .

Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δ. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока .

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть -цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):

,

где – амплитуда, ω – круговая частота.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:

Величина – это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности .

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде

,

где , и – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами , и . При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм .

На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).

Длины векторов на диаграмме равны амплитудам и колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ1 и φ2. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом . Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов:

Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением , конденсатору с емкостью и катушки с индуктивностью . Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.

1. Резистор в цепи переменного тока

Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю.

Физическая величина называется активным сопротивлением резистора .

2. Конденсатор в цепи переменного тока

Ток опережает по фазе напряжение на угол

Физическая величина называется емкостным сопротивлением конденсатора .

3. Катушка в цепи переменного тока

Ток отстает по фазе от напряжения на угол

Физическая величина называется индуктивным сопротивлением катушки .

Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного -контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного -контура изображена на рис. 2.3.2.

Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.

Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной -цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов , и (так называемый резонанс токов ).

При последовательном резонансе () амплитуды и напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

В § 2.2 было введено понятие добротности -контура:

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности . Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми .

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

Источник

Электромагнитные колебания

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.

Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур

Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.

Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.

Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.

Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.

Начальный момент: . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.

Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.

Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.

Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ).

Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.

Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же — координата маятника) уменьшается.

Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.

Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.

Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.

Вторая четверть: . Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ).

Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.

Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.

Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.

Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .

Третья четверть: . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ).

Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.

Конец третьей четверти: . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ).

Читайте также:  После удаления папилломы током

Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.

Четвёртая четверть: . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ).

Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.

Конец четвёртой четверти и всего периода: . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ).

Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок — рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.

Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.

Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!

Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.

В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.

Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.

Энергетические превращения в колебательном контуре

Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .

Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:

В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:

Соотношение (1) применяется при решении многих задач.

Электромеханические аналогии

В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) :

Здесь, как вы уже поняли, — жёсткость пружины, — масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения.

Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия:

Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:

B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:

Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.

Гармонический закон колебаний в контуре

Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».

Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ).

Рис. 10. Положительное направление обхода

Сила тока считается положительной 0)’ alt='(I > 0)’/> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .

Заряд конденсатора — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае — заряд левой пластины конденсатора.

При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если 0′ alt=’I > 0′/> , то заряд левой пластины возрастает, и потому 0′ alt=’\dot > 0′/> .

Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:

Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если — функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):

Подставляя сюда и , получим:

Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому

Перепишем это в виде:

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:

Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:

Мы снова пришли к формуле Томсона.

Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:

Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :

Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:

Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:

Амплитуда силы тока равна:

Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ).

Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) .

А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!

Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ).

Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока

Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.

Используя формулу приведения

запишем закон изменения тока (13) в виде:

Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .

Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).

Вынужденные электромагнитные колебания

Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.

Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ).

Рис. 12. Вынужденные колебания

Если напряжение источника меняется по закону:

то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .

Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.

Источник



Учебники

Разделы физики

Журнал «Квант»

Лауреаты премий по физике

Общие

Слободянюк А.И. Физика 10/18.8

§18. Переменный электрический ток

18.8 Колебательный контур.

18.8.1 Свободные колебания в контуре.

Img Slob-10-18-262.jpg

Рассмотренные в предыдущих разделах цепи переменного тока наводят на мысль, что пара элементов – конденсатор и катушка индуктивности образуют своеобразную колебательную систему. Сейчас мы покажем, что это действительно так, в цепи состоящей только из этих элементов (рис. 262) возможны даже свободные колебания, то есть без внешнего источника ЭДС. Поэтому цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром.

Img Slob-10-18-263.jpg

Пусть конденсатор зарядили до заряда q и затем подключили к нему катушку индуктивности. Такую процедуру легко осуществить с помощью цепи, схема которой показана на рис. 263: сначала ключ К замыкают в положении 1, при этом конденсатор заряжается до напряжения, равного ЭДС источника, после чего ключ перебрасывают в положения 2, после чего начинается разрядка конденсатора через катушку.

Для определения зависимости заряда конденсатора от времени q(t) применим закон Ома, согласно которому напряжение на конденсаторе \(

U_C = \frac\) равно ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке \(

\varepsilon_ = -L \frac<\Delta I> <\Delta t>= LI’\) (здесь, «штрих» означает производную по времени). Таким образом, оказывается справедливым уравнение

В этом уравнении содержится две неизвестных функции – зависимости от времени заряда q(t) и силы тока I(t), поэтому его решить нельзя. Однако сила тока является производной от заряда конденсатора q′(t) = I(t), поэтому производная от силы тока является второй производной от заряда

Читайте также:  Как проверить правильность расчета контурных токов

С учетом этого соотношения, перепишем уравнение (1) в виде

Поразительно, но это уравнение полностью совпадает с хорошо изученным нами уравнением гармонических колебаний (вторая производная от неизвестной функции пропорциональна самой этой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности \(x» = -\omega^2_0 x\))! Следовательно, решением этого уравнения будет гармоническая функция

q = A \cos (\omega_0 t + \varphi)\) (4)

с круговой частотой

Эта формула определяет собственную частоту колебательного контура. Соответственно период колебаний заряда конденсатора (и силы тока в контуре) равен

T = 2 \pi \sqrt\) . (6)

Полученное выражение для периода колебаний называется формулой Дж. Томпсона.

Как обычно, для определения произвольных параметров A, φ в общем решении (4) необходимо задать начальные условия – заряд и силу тока в начальный момент времени. В частности, для рассмотренного примера цепи рис. 263, начальные условия имеют вид: при t = 0 q = q, I = 0, поэтому зависимость заряда конденсатора от времени будет описываться функцией

q = q_0 \cos \omega_0 t\) , (7)

а сила тока изменяется со временем по закону

I = — \omega_0 q_0 \sin \omega_0 t\) . (8)

Img Slob-10-18-264.jpg

Следует отметить, что приведенное рассмотрение колебательного контура является приближенным – любой реальный контур обладает активным сопротивлением (соединительных проводов и обмотки катушки). Поэтому в уравнении (1) следует учесть падение напряжения на этом активном сопротивлении, поэтому это уравнение приобретет вид

который с учетом связи между зарядом и силой тока, преобразуется к форме

Это уравнение нам также знакомо – это уравнение затухающих колебаний \(x» = -\omega^2_0 x — \beta x’\), причем коэффициент затухания, как и следовало ожидать, пропорционален активному сопротивлению цепи \(

Процессы, происходящие в колебательном контуре, могут быть также описаны и с помощью закона сохранения энергии. Если пренебречь активным сопротивлением контура, то сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки остается постоянной, что выражается уравнением

которое также является уравнением гармонических колебаний с частотой, определяемой формулой (5). По свое форме это уравнение также совпадает уравнениями, следующими из закона сохранения энергии при механических колебаниях. Так как, уравнения, описывающие колебания электрического заряда конденсатора, аналогичны уравнениям, описывающим механические колебания, то можно провести аналогию между процессами, протекающими в колебательном контуре, и процессами в любой механической системе.

Img Slob-10-18-265.jpg

На рис. 265 такая аналогия проведена для колебаний математического маятника. В этом случае аналогами являются «заряд конденсатора q(t) – угол отклонения маятника φ(t)» и «сила тока I(t) = q′(t) – скорость движения маятника V(t)».

Пользуясь этой аналогией, качественно опишем процесс колебаний заряда и электрического тока в контуре. В начальный момент времени конденсатор заряжен, сила электрического тока равна нулю, вся энергия заключена в энергии электрического поля конденсатора (что аналогично максимальному отклонения маятника от положения равновесия). Затем конденсатор начинает разряжаться, сила тока возрастает, при этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует возрастанию тока; энергия конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля катушки (аналогия – маятник движется к нижней точки с возрастанием скорости движения). Когда заряд на конденсаторе становится равным нулю, сила тока достигает максимального значения, при этом вся энергия превращается в энергию магнитного поля (маятник достиг нижней точки, скорость его максимальна). Затем магнитное поле начинает убывать, при этом ЭДС самоиндукции поддерживает ток в прежнем направлении, при этом конденсатор начинает заряжаться, причем знаки зарядов на обкладках конденсатора противоположны начальному распределению (аналог – маятник движется к противоположному начальному максимальному отклонению). Затем ток в цепи прекращается, при этом заряд конденсатора становится опять максимальным, но противоположным по знаку (маятник достиг максимального отклонения), после чего процесс повторятся в противоположном направлении.

18.8.2 Вынужденные колебания в контуре.

Как уже было сказано, в реальном колебательном контуре колебания будут затухающими [1] из-за неизбежного выделения теплоты на активном сопротивлении (которым мы пренебрегли). Поэтому для поддержания незатухающих колебаний в контуре необходим внешний источник энергии, иными словами нам необходимо рассмотреть вынужденные колебания. Один из возможных вариантов осуществления таких колебаний мы уже рассмотрели при изучении темы «Резонанс напряжений», где мы фактически изучили колебания в контуре, внутрь которого включен источник переменной ЭДС, который может считаться аналогом внешней вынуждающей силы.

Чтобы явным образом показать, что явление резонанса напряжений можно рассматривать как вынужденные колебания, перепишем использованное уравнение закона Ома

\varepsilon(t) = U_R(t) + U_C(t) + U_L(t)\) .

Для чего подставим в него явные выражения для напряжений на элементах цепи \(

U_L = -\varepsilon_ = LI’ = Lq»\) и ЭДС источника \(\varepsilon = U_0 \cos \omega t\):

Lq» + \frac + Rq’ = U_0 \cos \omega t\)

и перепишем его в виде

q» = -\frac<1> q — \frac q’ + \frac \cos \omega t\) ,

который полностью совпадает с уравнением вынужденных колебаний \(x» = -\omega^2_0 x — \beta x’ + f_0 \cos \omega t\).

Img Slob-10-18-266.jpg

Рассмотрим теперь возможность возникновения вынужденных колебаний в контуре, когда источник переменной ЭДС находится вне контура [2] , как показано на рис. 266. Расчет данной цепи проведем, используя метод векторных диаграмм (которая также представлена на рис. 266). В данном случае нас, прежде всего, будет интересовать сила тока в колебательном контуре.

Так как конденсатор и катушка индуктивности соединены параллельно, то мгновенные напряжения (UC, UL) на этих элементах одинаковы. Обозначим это напряжение U1. Построение диаграммы следует начинать с построения вектора, изображающего колебания этого напряжения. Далее построим векторы, изображающие колебания сил токов через конденсатор IC и катушку индуктивности IL — эти векторы перпендикулярны вектору напряжения U1 и противоположны друг другу. Как обычно, колебания токов через конденсатор и через катушку индуктивности происходят в противофазе. Колебательный контур соединен последовательно с резистором, поэтому сумма токов IC и IL (конечно, их мгновенных значений) равна силе тока через резистор IR. Вектор изображающий напряжение на резисторе UR, сонаправлен с вектором суммарного тока. Наконец сумма векторов напряжения на резисторе UR и напряжения на контуре U1 равна ЭДС источника.

Построенная векторная диаграмма позволяет рассчитать амплитудные значения токов и напряжений на элементах данной цепи. Выразим традиционным образом амплитудные значения сил токов через конденсатор и катушку через амплитуду напряжения на контуре

Амплитуда силы тока через резистор (и через источник) определяется из векторной диаграммы и равна

I_ = (I_ — I_) = U_ <10>\left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right)\) . (2)

Теперь можно записать выражение для амплитуды напряжения на резисторе

U_ = I_R = U_ <10>\left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right) R\) . (3)

Далее, глядя на диаграмму напряжений, запишем теорему Пифагора для вектора ЭДС источника ⎟ ⎟

U^2_0 = U^2_ + U^2_ <10>= U^2_ <10>\left( 1 + \left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right)^2 R^2 \right) = U^2_ <10>R^2 \left( \frac<1> + \left( \omega C — \frac<1> <\omega L>\right)^2 \right)\) , (4)

здесь U — амплитуда ЭДС источника.

Из этого уравнения легко определить напряжение на резисторе

Наконец, с помощью формул (1), (2), (3), запишем выражения для сил токов в рассматриваемой цепи

Проанализируем зависимость этих величин от частоты источника ЭДС. Во всех формулах под корнем имеется два положительных слагаемых, причем только второе зависит от частоты. При частоте

равной собственной частоте колебательного контура второе слагаемое под корнем обращается в ноль, поэтому можно ожидать, что вблизи этой частоты силы токов через конденсатор и катушку достигают максимального значения. Понятно, что максимумы функций IL0(ω) и IC0(ω) несколько смещены от частоты ω, потому, что частота источника ω присутствует и вне корня. Однако, если первое слагаемое под корнем (\(\frac<1>\)), мало, то сдвиг максимума от значения ω = ω будет незначительным. Отметим, также, что при \(

\omega = \omega_0 = \frac<1><\sqrt>\) амплитуды токов через конденсатор и катушку оказываются равными. Действительно, в этом случае

Img Slob-10-18-267.jpg

Но самое неожиданное, что при ω = ω сила тока через резистор обращается в нуль! Соответственно, напряжение на колебательном контуре становится равным ЭДС источника, что также следует и из полученных формул для токов в контуре. Схематические графики зависимостей [3] амплитуд токов от частоты источника показаны на рис.267. Понятно, что при ω → 0 и ω → ∞ сопротивление контура стремится к нуля и в этом случае сила тока через резистор стремится к своему предельному значению \(

Таким образом, мы показали, что в рассмотренной цепи при частоте источника стремящейся к собственной частоте контура амплитуда силы тока в контуре резко возрастает, наблюдается явление резонанса, следовательно, колебательный контур можно использовать для выделения колебаний требуемой частоты. Интересно, отметить, что острота пика возрастает с ростом сопротивления резистора, находящегося вне контура.

В заключение данного раздела, обсудим, почему при ω = ω сила тока во внешней для контура цепи обращается в нуль. Колебания токов через конденсатор IC и через катушку индуктивности происходят в противофазе IL, а в случае ω = ω амплитуды этих токов сравниваются, в результате чего формально и получается нулевое значение для суммарного тока. Фактически в этом случае электрический ток циркулирует в колебательном контуре, не выходя из него. Подчеркнем, что наш анализ проведен для установившегося режима колебаний – в переходном режиме ток через резистор (и через источник идет) обеспечивая контур энергией. Когда колебания установятся, подкачка энергии становится излишней, так как мы пренебрегли потерями энергии в контуре. Обратите внимание, что при ω = ω сила тока в контуре не зависит сопротивления внешнего резистора, а полностью определяется параметрами контура.

Вспомните, что вынужденные колебания механических систем обладают тем же свойством – при точном резонансе и при отсутствии сил сопротивления работа внешней силы также обращается в нуль.

Если же рассмотреть реальный контур, обладающий активным сопротивлением, то между током в контуре и напряжением на нем разность фаз будет отлична от нуля, поэтому энергия источника будет поступать в контур, компенсируя потери. В этом случае также будет отличен от нуля и ток во внешней цепи.

Источник