Цепи переменного тока с активным сопротивлением с индуктивностью с конденсатором векторные диаграммы

Построение векторных диаграмм

Достаточно сложным и чаще всего не изучаемым аспектом темы переменный ток является метод построения векторных диаграмм. Анализируя вынужденные электромагнитные колебания, мы уже обсудили сдвиг тока и напряжения на реактивных сопротивлениях (катушка индуктивности и конденсатор) по сравнению с активным сопротивлением (резистор). Тогда одним из задаваемых вопросов задачи является вопрос о направлении суммарного тока или напряжения в данный конкретный момент времени. Для ответа на этот вопрос и используется метод построения векторных диаграмм.

Векторная диаграмма — это изображение гармонически изменяющихся величин (текущего тока и напряжения) в виде векторов на плоскости.

Рис. 1. Векторная диаграмма

Построение векторных диаграмм происходит в прямоугольной декартовой системе координат. Построение начинается с проведения вектора, численно равного амплитудному значению тока в цепи. Данный вектор сонаправим в осью ОХ (рис. 1.1).

Т.к. напряжение на активном сопротивлении находится в одной фазе с током, то вектор амплитуды напряжения сонаправлен с вектором тока (рис. 1.2. красный).

На катушке напряжение опережает ток, поэтому отложим вектор амплитуды напряжения на катушке ( $\displaystyle <»/>) вверх под углом $\displaystyle <<90 data-lazy-src=$ ^<\circ >>»/> относительно вектора тока (рис. 1.2. синий).

На конденсаторе напряжение отстаёт от тока, поэтому отложим вектор амплитуды напряжения на конденсаторе ( $\displaystyle <»/>) вниз под углом $\displaystyle <<90 data-lazy-src=$ ^<\circ >>»/> относительно вектора тока (рис. 1.2. зелёный).

Угол $\displaystyle <<90 data-lazy-src=$ ^<\circ >>»/>, используемый в логике построений, используется в случае идеальности контура и катушки.

Для построения общего вектора напряжения достаточно векторно сложить напряжения:

$\displaystyle <<\vec_>=<<\vec>_>+<<\vec>_>+<<\vec>_>»/> (1)

Проще всего сначала найти вектор-сумму $\displaystyle <<\vec_>+<<\vec>_>»/> (т.к. они расположены вдоль одной прямой). В нашем случае, эти вектора разнонаправлены, найдём $\displaystyle <-<_>»/> (рис. 1.3. жёлтый).

И последнее, осталось сложить получившийся вектор с вектором $\displaystyle <»/> для получения значения полного напряжения в цепи (рис. 1.4. оранжевый). Для получения модуля вектора воспользуемся теоремой Пифагора, т.к. вектора находятся под прямым углом. Тогда:

$\displaystyle <=\sqrt^<2>+<<(<_>-<_>)>^<2>>>»/> (2)

где
- $\displaystyle <»/> — общее напряжение в цепи,
- $\displaystyle <»/> — напряжение на конденсаторе,
- $\displaystyle <»/> — напряжение на катушке индуктивности,
- $\displaystyle <»/> — напряжение на активном сопротивлении.

Угол $\displaystyle \varphi$ — угол между вектором силы тока и полного напряжения называется сдвигом фаз между колебаниями силы тока и напряжения. Данный параметр можно найти и исходя из параметров системы:

$\displaystyle \cos \varphi =\frac<R data-lazy-src=$ »/> (3)

где
- $\displaystyle R$ — активное сопротивление,
- $\displaystyle Z$ — полное сопротивление цепи.

Вывод: задачи на данную тематику касаются поиска сдвига фаз между колебаниями силы тока и напряжения через график (рис. 1.4) или через соотношение (3), а также поиска полного напряжения в цепи также через график (рис. 1.4) или через соотношение (2).

Источник

Цепи переменного тока с активным сопротивлением с индуктивностью с конденсатором векторные диаграммы

§ 56. Цепь переменного тока с активным и индуктивным сопротивлениями

Любая проволочная катушка, включенная в цепь переменного тока, обладает активным сопротивлением, зависящим от материала, длины и сечения проволоки и индуктивным сопротивлением, которое зависит от индуктивности катушки и частоты переменного тока, протекающего по ней (X_L = ωL = 2πf L). Такую катушку можно рассматривать как приемник энергии, в котором активное и индуктивное сопротивления соединены последовательно.
Рассмотрим цепь переменного тока, в которую включена катушка индуктивности (рис. 59, а) с активным r и индуктивным сопротивлением X_L. Падение напряжения на активном сопротивлении

Падение напряжения на индуктивном сопротивлении

Построим векторную диаграмму тока и напряжения (рис. 59, б) для рассматриваемой цепи.

Отложим по горизонтали вектор тока 1 в выбранном масштабе. Известно, что ток и напряжение в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе, поэтому вектор падения напряжения на активном сопротивлении откладываем по вектору тока.
В цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на угол φ = 90°. Поэтому вектор падения напряжения на индуктивном сопротивлении откладываем на диаграмме вверх под углом 90° к вектору тока.
Для определения общего напряжения, приложенного к цепи, сложим векторы Суммой этих векторов будет диагональ параллелограмма — вектор Треугольник АОБ, стороны которого выражают соответственно напряжения U_a , U_L и общее напряжение U, называется треугольником напряжений. На основании теоремы Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов — следует, что общее напряжение на зажимах цепи

Пример. Падение напряжения на активном сопротивлении U_a = 15 в. Напряжение на индуктивном сопротивлении U_L = 26 в. Вычислить общее напряжение, приложенное к цепи.
Решение . Общее напряжение на зажимах цепи переменного тока с последовательно соединенными активным и индуктивным сопротивлениями

Чтобы определить полное сопротивление цепи переменного тока с активным и индуктивным сопротивлениями, следует разделить векторы U_a =I r и U_L = IX_L, на число I, выражающее силу тока в цепи, и построить треугольник А′О′Б′ (рис. 59, в), стороны которого меньше сторон треугольника напряжений в I раз. Образованный треугольник называется треугольником сопротивлений. Его сторонами являются сопротивления r и Х_L и полное сопротивление цепи Z.
Пользуясь теоремой Пифагора, можно написать, что

отсюда полное сопротивление цепи

Пример. Активное сопротивление катушки r = 7 ом, а ее индуктивное сопротивление Х_L = 24 ом. Вычислить полное сопротивление катушки.
Решение . Полное сопротивление катушки переменному току

Сила тока в цепи с активным и индуктивным сопротивлениями определяется по закону Ома:

На векторной диаграмме видно, что в цепи переменного тока с активным и индуктивным сопротивлениями ток и напряжение не совпадают по фазе.
Ток отстает от напряжения на угол φ.
Угол сдвига между током и напряжением можно определить, если известен косинус этого угла.
Из треугольника напряжений косинус угла сдвига фаз

Теперь можно, пользуясь таблицей тригонометрических функций, определить угол φ.

Пример. Падение напряжения на активном сопротивлении катушки U_a = 30 в. Общее напряжение на ее зажимах U_в = 60 в. Определить угол сдвига фаз между током и напряжением в цепи.
Решение. На основании данных найдем

По таблице тригонометрических функций угол сдвига фаз при cos φ = 0,5 составляет 60°.
По треугольнику сопротивлений можно также определить угол сдвига фаз между током и напряжением:

Пример. Активное сопротивление катушки составляет 5 ом, а ее полное сопротивление Z = 30 ом. Определить угол сдвига фаз.
Решение .

Источник

Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

2015-04-01
7936

Рис.2.21 изображает неразветвлённую цепь с активным сопротивлением R и индуктивностью L.

Рис.2.21. Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

Пусть мгновенный ток в цепи изменяется по закону . Тогда мгновенное напряжение на активном сопротивлении , так как на этом участке напряжение и ток совпадают по фазе. Напряжение на катушке индуктивности , поскольку на индуктивности напряжение опережает по фазе ток на угол .

Построим для действующих значений напряжения и тока векторную диаграмму для рассматриваемой цепи (рис. 2.22).

Векторы и образуют треугольник напряжений. Выведем закон Ома для этой цепи. Из треугольника напряжений имеем . Но , а , где — индуктивное сопротивление, следовательно:

Рис.2.22. Векторная диаграмма действующих значений тока и напряжения цепи переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

Введем обозначение , где Z — полное сопротивление цепи. Тогда выражение закона Ома примет вид:

Полное сопротивление Z можно определить из треугольника сопротивлений (рис. 2.23).

Рис.2.23. Треугольник сопротивлений цепи переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

Сдвиг фаз между током и напряжением определяется из треугольника сопротивлений:

Поскольку вектор сдвинут по фазе относительно вектора на угол против часовой стрелки, этот угол имеет положительное значение.

Если , то мгновенная мощность . Для действующих значений произведение , откуда . Выражение . Исходя из этого,

Таким образом, мгновенная мощность переменного тока может быть представлена в виде постоянной величины и, изменяющейся около неё с двойной частотой, величины (рис. 2.24).

Введем понятие средней или активной мощности:

Активная мощность характеризует расход энергии на активном сопротивлении.

Реактивная мощность характеризует обмен энергий между индуктивной катушкой и источником:

Полная мощность оценивает предельную мощность нагрузки:

Рис.2.24. Зависимости мгновенных значений напряжения, тока и мощности цепи переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

Совокупность всех мощностей можно определить из треугольника мощностей (рис. 2.25).

Рис.2.25. Треугольник мощностей

Так: Обозначим коэффициент мощности в виде соотношения .

Коэффициент мощности cosφ изменяется от 0 до 1. По его величине судят, какую часть полной мощности составляет активная мощность. На практике стремятся к увеличению cosφ.

Источник

Цепь переменного тока с емкостью и активным сопротивлением. Векторные диаграммы. Фазовые соответствия между токами и напряжениями

В реальных цепях переменного тока с ёмкостью всегда имеется активное сопротивление-сопротивление проводов, активные потери в конденсаторе и т.д.. Поэтому реальную цепь с ёмкостью следует рассматривать состоящей из последовательно соединённых активного сопротивления R и конденсатора C.

Через конденсатор и резистор протекает один и тот же ток I = Iо∙sinωt,

поэтому в качестве основного выберем вектор тока и будем строить вектор напряжения, приложенного к этой цепи.

Напряжение, приложенное к цепи, равно век-ой сумме падений напряжений на конденсаторе и на резисторе: U = Uc + (*векторно)

Напряжение на резисторе будет совпадать по фазе с током:

= ∙sinωt , а напряжение на конденсаторе будет отставать по фазе от тока на угол π / 2:

Uc = Uоc∙sin(ωt — π/2 )

Построим векторы I, и Uc и, воспользовавшись формулой, найдём вектор U.

Из векторной диаграммы следует, что в рассматриваемой цепи ток I опережает по фазе приложенное напряжение U, но не на π/2, как в случае чистой ёмкости, а на угол φ. Этот угол может изменяться от 0 до π/2 и при заданной ёмкости С зависит от значения активного сопротивления: с увеличением R угол φ уменьшается.

Модуль вектора U равен:

U = = I = I∙Z ,где

Z = называется полным сопротивлением цепи.

Сдвиг по фазе между током и напряжением:

tgφ = Uc/ = (1/ωC)/R = 1/(ω∙R∙C)

16. Последовательная цепь переменного тока. Резонанс напряжений. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую индуктивность, ёмкость и резистор, соединённые последовательно.

Рис.4.24. Последовательная цепь переменного тока.

Через все эти элементы протекает один и тот же ток, поэтому в качестве основного выберем вектор тока, и будем строить вектор напряжения, приложенного к этой цепи.

Мы знаем, что напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на катушке опережает ток по фазе на π⁄2, а напряжение на ёмкости отстаёт от тока по фазе на π⁄2. Запишем эти напряжения в следующем виде:

Построим векторную диаграмму и найдём вектор U.

Рис.4.25. Векторная диаграмма для последовательной цепи переменного тока.

Из этой диаграммы находим модуль вектора приложенного к цепи напряжения и сдвиг фаз φ между током и напряжением:

U = = I·Z, где

Z = , называется полным сопротивлением цепи.

Из векторной диаграммы tgφ = (U_L — U_c)/U_R = .

Разность фаз между током и напряжением определяется соотношением векторов U_L, U_c и U_R. При U_L — U_c > 0 угол φ положительный и нагрузка имеет индуктивный характер. При U_Lменьше U_c угол отрицательный и нагрузка имеет ёмкостной характер. См. рис.4.26, а при U_L = U_c нагрузка имеет активный характер.

Рис. 4.26. Векторная диаграмма последовательной цепи:

а — нагрузка имеет ёмкостной характер; б — нагрузка имеет активный характер.

Разделив стороны треугольника напряжений на значение тока в цепи, получим треугольник сопротивлений (рис. 4.27), в котором R — активное сопротивление, Z — полное сопротивление, а X = X_L — X_c — реактивное сопротивление.

Рис.4.27. Треугольник сопротивлений.

Кроме того, R = Z∙cosφ; X = Z∙sinφ.

Когда напряжения на индуктивности и ёмкости, взаимно сдвинутые по фазе на 180 градусов, равны по величине, то они полностью компенсируют друг друга (рис.4.26, б).

Напряжение, приложенное к цепи, равно напряжению на активном сопротивлении, а ток в цепи совпадает по фазе с напряжением. Этот случай называется резонансом напряжений.

Условие резонанса напряжений:

ωо — угловая частота резонанса. Ток в цепи равен:

I = U / = U/R

Ток в цепи при этом достигает максимального значения, φ = 0, а cosφ = 1. Резонанс напряжений характеризуется обменом энергии между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора. Увеличение магнитного поля катушки индуктивности происходит за счёт уменьшения энергии электрического поля в конденсаторе и наоборот. При резонансе напряжений напряжения на реактивных сопротивлениях XL и Хс могут заметно превышать приложенное к цепи напряжение.

U / U_L = I∙Z / I∙X_L = Z / X_L или U∙L = U∙(X_L / R), т.е. напряжение на индуктивности будет больше приложенного напряжения в X_L/R раз. Это означает, что на отдельных участках цепи могут возникать опасные напряжения.

Вернёмся к формуле (4.31).

ωо = = , но ω = 2πf, значит 2πf_о = , тогда

fо = , где

f_о — частота при резонансе напряжений в герцах;

Источник