Меню

Сложение напряжений переменного тока

Сложение напряжений переменного тока

Включим в цепь переменного тока последовательно активное сопротивление и индуктивное сопротивление и подключим параллельно каждому из них вольтметр, измеряющий напряжения между концами соответствующего участка цепи. Вольтметр измеряет напряжение между точками и , а вольтметр – напряжение между точками и . Третий вольтметр измеряет напряжение между точками и (рис. 304).

Рис. 304. Сумма напряжений на активном и индуктивном (или емкостном) сопротивлениях не равна напряжению между концами участка цепи , содержащего оба эти сопротивления

Опыт показывает, что в случае, когда оба сопротивления одинаковы по своей природе, т. е. оба являются активными, или индуктивными, или емкостными, то, как и в случае постоянного тока, напряжение на всем участке равно сумме напряжений на участках и :

В общем же случае, когда сопротивления различны по природе (рис. 304), напряжение на всем участке всегда меньше суммы напряжений на участках и :

Если, например, включить в сеть с напряжением 220 В последовательно лампочку с активным сопротивлением 60 Ом и катушку с индуктивным сопротивлением 80 Ом, то окажется, что напряжение на лампочке равно 125 В, а напряжение на катушке равно 166 В; сумма этих напряжений равна В, хотя В.

Причина этого в том же сдвиге фаз между напряжениями и , какой мы наблюдали между токами в параллельных ветвях цепи (§ 160). Действительно, заменив вольтметры и (рис. 304) осциллографами, можно убедиться в том, что напряжения и не совпадают по фазе. Если первое сопротивление активное, а второе емкостное, то напряжение опережает по фазе напряжение на четверть периода, а если второе сопротивление индуктивное, то напряжение отстает по фазе от напряжения на такую же величину. Кривые, изображающие форму напряжений и , были бы расположены в этом случае так же, как соответствующие кривые на рис. 303,в.

Для мгновенных значений напряжений всегда имеет место соотношение

но результат сложения двух синусоидальных напряжений, т. е. амплитуда и фаза результирующего напряжения, будет зависеть от разности фаз между складываемыми напряжениями так же, как и в случае токов.

© 2021 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Источник

Несколько примеров для цепей переменного тока

Давайте соединим последовательно три источника переменного напряжения и используем комплексные числа для определения итогового напряжения.

Все правила и законы, усвоенные при изучении цепей постоянного тока, применимы и к цепям переменного тока (закон Ома, законы Кирхгофа, методы анализа цепей), за исключением расчета мощности (закон Джоуля).

Единственное ограничение состоит в том, что все переменные должны быть выражены в комплексной форме с учетом фазы и амплитуды, и все напряжения и токи должны иметь одинаковую частоту (для того, чтобы их фазовые соотношения оставались постоянными).

Рисунок 1 Второй закон Кирхгофа (про напряжения) позволяет сложить комплексные напряжения Рисунок 1 – Второй закон Кирхгофа (про напряжения) позволяет складывать комплексные напряжения

Обозначения полярности всех трех источников напряжения ориентированы таким образом, чтобы их напряжения складывались в общее напряжение на резисторе нагрузки.

Обратите внимание, что, хотя для каждого источника переменного напряжения указаны амплитуда и угол фазы, значения частоты для них не указаны. Если это так, предполагается, что все частоты равны, что соответствует нашим требованиям для применения правил цепей постоянного тока к цепям переменного тока (все значения даны в комплексной форме, все на одной и той же частоте).

Формула для нахождения полного напряжения выглядит следующим образом:

\[E_ <общ>= E_1 + E_2 + E_3\]

\[E_ <общ>= (22В \angle -64^<\circ>) + (12В \angle 35^<\circ>) + (15В \angle 0^<\circ>)\]

Графически векторы складываются, как показано на рисунке ниже.

Рисунок 2 Графическое сложение векторных напряжений Рисунок 2 – Графическое сложение векторных напряжений

Сумма этих векторов будет результирующим вектором, начинающимся в начальной точке вектора 22 В (точка в верхнем левом углу диаграммы) и заканчивающимся в конечной точке вектора 15 В (остриё стрелки в середине по горизонтали, справа):

Рисунок 3 Результат эквивалентен сумме векторов трех исходных напряжений Рисунок 3 – Результат эквивалентен сумме векторов трех исходных напряжений

Читайте также:  Срок окупаемости затрат ток это

Чтобы определить величину и угол результирующего вектора, не прибегая к графическим изображениям, мы можем преобразовать каждое из этих комплексных чисел из полярной формы в алгебраическую форму, а затем сложить их.

Помните, что мы складываем эти значения вместе потому, что отметки полярности этих трех источников напряжения ориентированы аддитивным образом:

\[15 В \angle 0^ <\circ>= 15 + j0 \ В\]

\[12 В \angle 35^ <\circ>= 9,8298 + j6,8829 \ В\]

\[22 В \angle -64^ <\circ>= 9,6442 — j19,7735 \ В\]

\[\begin 15 +j0 \ В \\ 9,8298 + j6,8829 \ В\\ 9,6442 — j19,7735 \ В \\ \hline 34,4740 — j12,8906 \ В \end\]

В полярной форме результат был равен 36,8052 вольт ∠-20,5018°. В реальном выражении это означает, что напряжение, измеренное на этих трех источниках напряжения, будет равно 36,8052 В, отставая от 15 В (опорная фаза 0°) на 20,5018°.

Вольтметр, подключенный к этим точкам в реальной цепи, будет показывать только амплитуду напряжения в полярной форме (36,8052 вольт), без значения угла. Для отображения двух сигналов напряжения может использоваться осциллограф и, таким образом, обеспечивать измерение сдвига фазы.

Тот же принцип справедлив и для амперметров переменного тока: они показывают амплитуду тока в полярной форме, без угла фазы.

Это чрезвычайно важно для соотнесения расчетных значений напряжения и тока с реальными цепями.

Хотя алгебраическая форма записи удобна для сложения и вычитания, и результат в нашем примере в конце был записан именно в этом виде, она не очень применима в практических измерениях.

Чтобы значения в алгебраической форме можно было связать с фактическими измерениями схемы, их необходимо преобразовать в полярную форму (а именно, для получения амплитуды в полярной форме).

Для проверки точности наших результатов мы можем использовать SPICE. В этой тестовой схеме номинал резистора 10 кОм выбран произвольно. Он добавлен, чтобы SPICE не выдавал ошибку о разрыве цепи и не прерывал анализ.

Кроме того, выбор частот напряжений для моделирования (60 Гц) тоже довольно произвольный, поскольку резисторы одинаково реагируют на все частоты переменного напряжения и тока. Существуют и другие компоненты (в частности, конденсаторы и катушки индуктивности), которые неодинаково реагируют на разные частоты, но это уже другая тема!

Рисунок 4 Принципиальная схема SPICE Рисунок 4 – Принципиальная схема SPICE

Разумеется, мы получаем общее напряжение 36,81 вольт ∠ -20,5° (относительно источника на 15 вольт, фаза которого была произвольно установлена равной нулю градусов, чтобы он был «эталонным» сигналом).

На первый взгляд это противоречит интуиции. Как можно получить общее напряжение чуть более 36 вольт при последовательном подключении источников питания на 15, 12 и 22 вольт? С цепями постоянного тока это было бы невозможно, поскольку значения напряжения будут напрямую складываться или вычитаться, в зависимости от полярности.

Но с цепями переменного тока наша «полярность» (сдвиг фазы) может варьироваться от полного сложения до полного вычитания, и в итоге получается такое парадоксальное суммирование.

Что, если мы возьмем ту же схему и перевернем один из источников напряжения? Тогда его вклад в общее напряжение будет противоположным тому, что было раньше (рисунок ниже):

Рисунок 5 Полярность E2 (12 В) изменена Рисунок 5 – Полярность E2 (12 В) изменена

Обратите внимание, что угол фазы источника питания 12 В по-прежнему составляет 35°, даже если его выводы поменяны местами. Помните, что угол фазы любого падения напряжения указывается в соответствии с указанной полярностью. Несмотря на то, что угол по-прежнему записывается как 35°, вектор будет нарисован на 180° противоположно тому, что было раньше (рисунок ниже):

Рисунок 6 Направление E2 меняется на противоположное Рисунок 6 – Направление E2 меняется на противоположное

Результирующий вектор (сумма векторов) должен начинаться в верхней левой точке (начало вектора 22 вольта) и заканчиваться на конце стрелки вектора 15 вольт (рисунок ниже):

Рисунок 7 Результат - векторная сумма источников напряжения Рисунок 7 – Результат – векторная сумма источников напряжения

Изменение подключения источника 12 В в полярной форме может быть представлено двумя разными способами: добавлением 180° к углу его вектора (что составит 12 вольт ∠ 215°) или изменением знака амплитуды (что в итоге дает -12 вольт ∠ 35°). В любом случае преобразование в алгебраическую форму даст один и тот же результат:

Читайте также:  Вычислите сопротивление нагревательного элемента утюга если сила тока в нем 2а а напряжение 220

\[\begin 12 \angle 35^ <\circ>\text <(в обратной полярности)>& = 12 \angle 215^ <\circ>& = -9,8298-j6,8829 \\ & \text <или>\\ & = -12 \angle 35^ <\circ>& = -9,8298-j6,8829 \end\]

Полученная сумма напряжений в алгебраической форме тогда будет следующей:

\[\begin 15 +j0 \ В \\ 9,8298 — j6,8829 \ В\\ 9,6442 — j19,7735 \ В \\ \hline 14,8143 — j26,6564 \ В \end\]

В полярной форме это равно 30,4964 В ∠ -60,9368°. Еще раз воспользуемся SPICE для проверки результатов наших расчетов:

Источник

Понятие о сложении переменных напряжений и токов.

При изучении цепей переменного тока приходится складывать переменные напряжения, э. д. с. или токи. При этом следует учитывать, что они изменяются по величине и направлению и, кроме того, могут совпадать или не совпадать по фазе.
На рис. 53 показано сложение двух переменных токов, совпадающих по фазе, но имеющих различное максимальное значение. Суммой этих двух переменных токов, выраженных синусоидами i1и i2 является третья синусоида тока i3 (рисунок 6).

Для сложения синусоид следует сложить отрезки, выражающие силу токов i1 и i2 в одинаковые моменты времени. В момент t1 сила тока i1 равна 12 ма, сила тока i2 равна 15 ма. Общая сила тока в это мгновение равна:

i1 + i2 = 12 + 15 = 27 ма.

В момент времени t2 сила тока i1 = 20 ма, i2 = 30 ма. Общая сила тока i3 составляет 50 ма. Подобным образом складывают токи в остальные моменты времени t3, t4 и т. д.

На графике откладывают значения суммарной силы тока для каждого момента времени, а затем соединяют точки, обозначенные на графике сплошной линией, тогда получают синусоиду i3, выражающую сумму двух токов i1 и i2.

Аналогично производят сложение переменных напряжений и токов, не совпадающих по фазе.

Рисунок 6-Сложение двух переменных токов, совпадающих по фазе

Понятие о векторах и векторных диаграммах.

При изучении и расчете цепей переменного тока удобно пользоваться векторными диаграммами, на которых синусоидальные э. д. с., напряжения и токи условно изображают с помощью векторов. Применение этих диаграмм упрощает изучение и расчет цепей и вносит наглядность в рассматриваемые соотношения.

Сравнивать можно векторы, которые обладают одной и той же размерностью. Равенство двух векторов обозначают так: Векторы можно складывать. Суммой двух векторов (рисунке 7а) называется третий вектор , который служит диагональю параллелограмма, сторонами которого являются слагаемые векторы. Если два вектора лежат на одной прямой, то сумма таких векторов равна их алгебраической сумме, выраженной вектором. Сумма векторов не зависит от порядка сложения:

Сложение векторов можно производить по правилу треугольника. Для сложения вектора с вектором из точки A (рисунке 6б) строят вектор , из конца этого вектора строят вектор . Тогда вектор , соединяющий начало одного с концом другого, и будет суммой векторов. Это можно записать так: (рисунок 7).

Рисунок-7-Сложение и вычитание векторов

Векторы можно вычитать. Чтобы из вектора уменьшаемое) вычесть вектор , (вычитаемое), надо прибавить к вектору вектор в противоположном направлении. Если два вектора и имеют общее начало (рисунок 7в), то разность их геометрически изображается вектором, идущим от конца вектора вычитаемого к концу вектора уменьшаемого.
Вектор можно умножить на число. Произведением вектора на целое число m называется новый вектор m (длина его равна m), имеющий то же направление, что и , если m больше 0; прямо противоположное ему, если m меньше 0; при m = 0 произведение на m является нулевым вектором.
Вектор можно разделить на число. Чтобы разделить вектор на число (но не на нуль), достаточно умножить этот вектор на обратное число:

Длина нового вектора равна длине вектора разделенной на m, и совпадает с его направлением, если m больше 0, или противоположно ему, если m меньше 0.
Переменный ток, переменная э. д. с. и переменное напряжение изображают в виде векторов, длина которых в одном масштабе равна действующим значениям изображаемых величин, а в другом — максимальным (амплитудным) значениям этих величин.
Следует различать векторы переменного тока от физических векторов, имеющих определенное направление в пространстве. Примерами последних могут служить магнитная индукция, напряженность электрического поля, скорость и т. д. Эти векторы принято обозначать буквой со стрелкой над ней (например Векторы, характеризующие условно синусоидальные величины, изображают отрезком прямой со стрелкой на конце, а над буквой в отличие от векторов физических ставят точку. Например, вектор тока , вектор напряжения и т. д. (рисунок 8).

Читайте также:  Чтобы найти направление силовой линии вокруг прямого проводника с током надо

Рисунок 8- Векторы, характеризующие условно синусоидальные величины

На векторных диаграммах можно показать, что ток и напряжение совпадают по фазе (рисунок 8а) или э. д. с. сдвинуты по фазе на некоторый угол (рисунок 8б). Условно принято считать, что векторы перемещаются в направлении против движения часовой стрелки. Если векторы имеют различную длину, следовательно, их действующие значения разные (рисунок 8б).

Источник: http://selectelement.ru/basic-concepts/electric-ac.php

Видео: 1. https://www.youtube.com/watch?v=NV2V5VcXlEI

Контрольные вопросы.

1. Объясните понятие «переменный ток»,что такое амплитуда переменного тока, что такое частота тока, единицы измерения частоты, что такое угловая частота, единицы измерения угловой частоты, что такое разность фаз?

2. В чем разница между действующими и амплитудными значениями синусоидальных величин, запишите и расшифруйте математическое выражение мгновенного синусоидального тока, запишите и расшифруйте математическое выражение мгновенного синусоидального напряжения.

3. Объясните физический смысл активного сопротивления проводника переменному току по сравнению с сопротивлением проводника постоянному току?

4. Что такое индуктивность катушки? От чего она зависит?

5. Что понимается под действующим значением переменного синусоидального тока? Как его рассчитать через амплитудное значение тока?

6. Опишите физические явления, наблюдаемые в резисторе в цепи переменного синусоидального тока?

7. Запишите математическую связь между мгновенным напряжением, мгновенным током и активным сопротивлением?

8. Запишите математические выражения мгновенного напряжения и тока на активном сопротивлении, приняв начальную фазу напряжения φ=45°.

9. Что понимается под углом сдвига фаз? Чему он равен на участке цепи с резистором? индуктивностью? ёмкостью?

10.Как рассчитать индуктивное сопротивление идеальной катушки?

11.Запишите математическое выражение мгновенного напряжения на индуктивном сопротивлении, приняв начальную фазу тока φ=45°.

12.Объясните физический смысл ёмкостного сопротивления. Как рассчитать ёмкостное сопротивление идеального конденсатора?

13.Чему равен угол сдвига фаз в ёмкости?

14.Что понимается под термином реактивное сопротивление? Как его определить?

15.Как в сети переменного тока определяется полное сопротивление?

Дата добавления: 2020-12-22 ; просмотров: 24 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник



Сложение напряжений переменного тока

§ 51. Понятие о сложении переменных напряжений и токов

При изучении цепей переменного тока приходится складывать переменные напряжения, э. д. с. или токи. При этом следует учитывать, что они изменяются по величине и направлению и, кроме того, могут совпадать или не совпадать по фазе.
На рис. 53 показано сложение двух переменных токов, совпадающих по фазе, но имеющих различное максимальное значение. Суммой этих двух переменных токов, выраженных синусоидами i1 и i2 является третья синусоида тока i3.

Для сложения синусоид следует сложить отрезки, выражающие силу токов i1 и i2 в одинаковые моменты времени. В момент t1 сила тока i1 равна 12 ма, сила тока i2 равна 15 ма. Общая сила тока в это мгновение равна:

i1 + i2 = 12 + 15 = 27 ма.

В момент времени t2 сила тока i1 = 20 ма, i2 = 30 ма. Общая сила тока i3 составляет 50 ма. Подобным образом складывают токи в остальные моменты времени t3, t4 и т. д.
На графике откладывают значения суммарной силы тока для каждого момента времени, а затем соединяют точки, обозначенные на графике сплошной линией, тогда получают синусоиду i3, выражающую сумму двух токов i1 и i2.
Аналогично производят сложение переменных напряжений и токов, не совпадающих по фазе.

Источник