Меню

Расчет трехфазной цепи несинусоидального тока

4.2 Примеры расчета схем при несинусоидальных периодических воздействиях

Примеры расчета схем при несинусоидальных периодических воздействиях

Задача 4.1 К генератору с несинусоидальным периодическим напряжением подключена цепь, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления, индуктивности и емкости.

Написать уравнение тока в цепи, если напряжение генератора может быть выражено уравнением

u ( t ) = 40 + 120 sin 1000 t + 60 sin ( 2000 t − π 6 ) + 50 sin ( 5000 t − π 3 ) , В .

Найти действующее значение напряжения на конденсаторе и мощность, расходуемую в цепи, где R = 50 Ом, L = 0,05 Гн, C = 5 мкФ.

Решение В последовательном соединении имеется конденсатор, поэтому ток постоянной составляющей содержать не будет! Амплитуды гармонических составляющих определяются по формуле

I m ( k ) = U m ( k ) Z ( k ) ,

Z ( k ) = R 2 + ( X L ( k ) − X C ( k ) ) 2 = R 2 + ( k ω L − 1 k ω C ) 2 .

Фазовый сдвиг гармоники тока относительно соответствующего напряжения из треугольника сопротивлений

t g φ ( k ) = X ( k ) R = X L ( k ) − X C ( k ) R = k ω L − 1 k ω C R .

Напряжение на конденсаторе дается выражением

U C = U 0 C 2 + [ U C ( 1 ) ] 2 + [ U C ( 2 ) ] 2 + [ U C ( 5 ) ] 2 .

Уравнение тока в цепи имеет вид

i ( t ) = 0,76 sin ( 1000 t + 71,6 ° ) + 1,2 sin ( 2000 t − 30 ° ) − 0,23 sin ( 5000 t + 43,4 ° ) , А .

Расчет дает следующие значения

UC = 143 В; P = 51,8 Вт.

Задача 4.2 На вход схемы (рис. 4.1)

Рис. 4.1 На вход схемы подано напряжение от идеального двухполупериодного выпрямителя

с параметрами R1 = 100 Ом, R2 = 600 Ом, ωL = 3000 Ом; 1/(ωC) = 20 Ом подано напряжение от идеального двухполупериодного выпрямителя с частотой ω (рис. 4.2).

Рис. 4.2 Напряжение от идеального двухполупериодного выпрямителя

Найти входной ток i(t).
Вычислить для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

Решение Ряд Фурье исходного напряжения находим по справочной литературе. Ограничимся четырьмя гармониками

u ( t ) = 4 U m π ( 1 2 + 1 3 cos 2 ω t − 1 3 ⋅ 5 cos 4 ω t + 1 5 ⋅ 7 cos 6 ω t ) .

Гармонические составляющие изменяются по косинусоидальному закону с нулевой фазой

U m ( 2 ) = 4 U m 3 π ; U m ( 4 ) = − 4 U m 3 ⋅ 5 π ; U m ( 6 ) = − 4 U m 5 ⋅ 7 π .

Входное комплексное сопротивление k-ой гармоники Z ( k ) определяется из выражения

Z _ ( k ) = R 1 + j k ω L + R 2 ⋅ ( − j 1 k ω C ) R 2 + ( − j 1 k ω C ) = 100 + j k 3000 + − j 600 ⋅ 20 k 600 − j 20 k ( О м ) .

Определим составляющие входного тока.

Рис. 4.3 Схема замещения цепи для определения постоянной составляющей тока

Постоянная составляющая (k = 0) (см. рис. 4.3)

I 0 = U 0 R 1 + R 2 = 4 U m 2 π ⋅ 700 .

Для второй гармоники (k = 2) комплексная амплитуда входного тока

I ? m ( 2 ) = U ? m ( 2 ) Z _ ( 2 ) ,

Z _ ( 2 ) = R 1 + j 2 ω L + R 2 ⋅ ( − j 1 2 ω C ) R 2 + ( − j 1 2 ω C ) = 100 + j 6000 + − j 6000 600 − j 10 ≈ j 6000 О м .

Аналогично, для четвертой гармоники (k = 4)

I ? m ( 4 ) = U ? m ( 4 ) Z _ ( 4 ) ; Z _ ( 4 ) = 100 + j 12000 + − j 3000 600 − j 5 ≈ j 12000 О м .

Для шестой гармоники (k = 6)

I ? m ( 6 ) = U ? m ( 6 ) Z _ ( 6 ) ; Z _ ( 6 ) = 100 + j 18000 + − j 2000 600 − j 20 / 6 ≈ j 18000 О м .

Мгновенное значение входного тока для четырех гармоник дается выражением

i ( t ) = I 0 + i ( 2 ) ( t ) + i ( 4 ) ( t ) + i ( 6 ) ( t ) .

После подстановки выражение примет вид

i ( t ) = 4 U m π ( 1 1,4 + 1 18 cos ( 2 ω t − 90 ° ) − 1 180 cos ( 4 ω t − 90 ° ) + 1 630 cos ( 6 ω t − 90 ° ) ) ⋅ 10 − 3 .

Вычислим для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

Действующее значение входного напряжения

U = U 0 2 + [ U ( 1 ) ] 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + . + [ U ( k ) ] 2 + . ≈ = U 0 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + [ U ( 4 ) ] 2 + [ U ( 6 ) ] 2 = = U 0 2 + [ U m ( 2 ) ] 2 + [ U m ( 4 ) ] 2 + [ U m ( 6 ) ] 2 2 = = 0,6366 2 + 0,4244 2 + 0,0849 2 + 0,0364 2 2 ⋅ U m = 0,707 ⋅ U m .

Для двухполупериодного выпрямления:

k ф = U U с р . в ы п р = U U 0 = 0,707 ⋅ U m 0,637 ⋅ U m = 1,11 ;

k а = U max U = U m 0,707 ⋅ U m = 1,41 ;

k и = U ( 2 ) U = U m ( 2 ) 2 U = 0,3 ⋅ U m 0,707 ⋅ U m = 0,425.

Задача 4.3 Для линейной электрической цепи (рис. 4.4), подключенной к периодическому несинусоидальному напряжению, необходимо:

1. Разложить входное напряжение u(t) в ряд Фурье.

2. Рассчитать мгновенные значения токов ветвей цепи.

3. Определить показания электродинамических амперметра и вольтметра.

4. Найти активную мощность, отдаваемую источником.

5. Вычислить для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

6. Построить кривую выходного напряжения и определить его действующее значение.

Рис. 4.4 Линейная электрическая цепь, подключенная к периодическому несинусоидальному напряжению

f = 300 Гц; ω = 1884 с –1 ; L1 = 0,02 Гн; L2 = 0,002 Гн; R = 90 Ом; C1 = 10 мкФ = 10·10 –6 Ф; C2 = 50 мкФ = 50·10 –6 Ф; Um = 110 В,

Решение Разложим входное напряжение в ряд Фурье и запишем его первые четыре составляющие.

Для нахождения членов ряда Фурье воспользуемся формулами

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n ω t + b n sin n ω t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n cos ( n ω t − φ n ) ,

где среднее значение функции за период или постоянная составляющая, называемая нулевой гармоникой,

A 0 = a 0 2 = 1 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) d t ;

амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих соответственно

a n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) cos n ω t d t , b n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) sin n ω t d t ;

амплитуда n-й гармоники спектра

A n = a n 2 + b n 2 ;

начальная фаза n-й гармоники

φ n = a r c t g b n a n ;

угловая частота первой гармоники

ω = 2 π f = 2 π T ;

f – циклическая частота первой гармоники спектра или основная частота,

T – период повторения функции f(t),

t – любой произвольно выбранный момент времени (обычно t = 0),

n = 1, 2, 3,… – номер гармоники.

Постоянная составляющая (нулевая гармоника)

U 0 = 1 2 π ∫ 0 2 π u ( ω t ) d ω t = 1 2 π ∫ 0 π U m sin ω t d ω t = − U m cos ω t 2 π | 0 π = U m π .

Амплитуды синусоидальных составляющих напряжения

U m ( k ) = 1 π ∫ 0 2 π u ( ω t ) sin k ω t d ω t = 1 π ∫ 0 2 π U m sin ω t ⋅ sin k ω t d ω t = < U m 2 , k = 1 ; 0, k ≠ 1.

Амплитуды косинусоидальных составляющих напряжения

U m ( k ) = 1 π ∫ 0 2 π u ( ω t ) cos k ω t d ω t = 1 π ∫ 0 2 π U m sin ω t ⋅ cos k ω t d ω t = < 2 U m ( 1 − k 2 ) π , k − ч е т н о е ; 0, k − н е ч е т н о е .

Получили разложение по первым пяти гармоникам входного напряжения

u в х ( t ) ≈ U 0 + u ( 1 ) ( t ) + u ( 2 ) ( t ) + u ( 4 ) ( t ) + u ( 6 ) ( t ) = = U m π + U m 2 sin ω t + ( − 2 U m 3 π ) cos 2 ω t + ( − 2 U m 15 π ) cos 4 ω t + ( − 2 U m 35 π ) cos 6 ω t = = U m π + U m 2 sin ω t + 2 U m 3 π sin ( 2 ω t − π 2 ) + 2 U m 15 π sin ( 4 ω t − π 2 ) + 2 U m 35 π sin ( 6 ω t − π 2 ) .

Комплексное входное сопротивление гармоникам тока

Z _ в х ( 0 ) = ∞ ; I 1 ( 0 ) = I 2 ( 0 ) = I 3 ( 0 ) = 0 ; Z _ в х ( k ) = R + j ( k ω L 1 − 1 k ω C 1 ) + j k ω L 2 ⋅ ( R − j 1 k ω C 2 ) j k ω L 2 + ( R − j 1 k ω C 2 ) ; Z _ в х ( 1 ) = 90,157 − j 11,568 О м = 90,896 ⋅ e − j 7,31 ° О м ; Z _ в х ( 2 ) = 90,631 + j 56,399 О м = 106,747 ⋅ e j 31,89 ° О м ; Z _ в х ( 4 ) = 92,479 + j 152,275 О м = 178,158 ⋅ e j 58,73 ° О м ; Z _ в х ( 6 ) = 95,396 + j 238,728 О м = 257,083 ⋅ e j 68,22 ° О м .

Комплексные амплитуды гармоник входного тока

I ? 1 m ( 1 ) = U ? m ( 1 ) Z _ ( 1 ) = U m 2 Z _ ( 1 ) = 55 90,896 ⋅ e − j 7,31 ° = 0,6051 ⋅ e j 7,31 ° А ; I ? 1 m ( 2 ) = U ? m ( 2 ) Z _ ( 2 ) = 2 U m 3 π ⋅ e − j 90 ° Z _ ( 2 ) = 23,343 ⋅ e − j 90 ° 106,747 ⋅ e j 31,89 ° = 0,2187 ⋅ e − j 121,89 ° А ; I ? 1 m ( 4 ) = U ? m ( 4 ) Z _ ( 4 ) = 2 U m 15 π ⋅ e − j 90 ° Z _ ( 4 ) = 4,669 ⋅ e − j 90 ° 178,158 ⋅ e j 58,73 ° = 0,0262 ⋅ e − j 148,73 ° А ; I ? 1 m ( 6 ) = U ? m ( 6 ) Z _ ( 6 ) = 2 U m 35 π ⋅ e − j 90 ° Z _ ( 6 ) = 2,001 ⋅ e − j 90 ° 257,083 ⋅ e j 68,22 ° = 0,0078 ⋅ e − j 158,22 ° А .

Гармоники тока через катушку индуктивности по формуле разброса токов (делителя токов)

I ? 2 m ( 1 ) = I ? 1 m ( 1 ) ⋅ R − j X C 2 ( 1 ) R + j ( X L 2 ( 1 ) − X C 2 ( 1 ) ) = 0,6075 ⋅ e j 4,93 ° А ; I ? 2 m ( 2 ) = I ? 1 m ( 2 ) ⋅ R − j X C 2 ( 2 ) R + j ( X L 2 ( 2 ) − X C 2 ( 2 ) ) = 0,2190 ⋅ e − j 126,69 ° А ; I ? 2 m ( 4 ) = I ? 1 m ( 4 ) ⋅ R − j X C 2 ( 4 ) R + j ( X L 2 ( 4 ) − X C 2 ( 4 ) ) = 0,0260 ⋅ e − j 158,28 ° А ; I ? 2 m ( 6 ) = I ? 1 m ( 6 ) ⋅ R − j X C 2 ( 6 ) R + j ( X L 2 ( 6 ) − X C 2 ( 6 ) ) = 0,0076 ⋅ e − j 172,39 ° А .

Гармоники тока через емкость по формуле разброса токов (делителя токов)

I ? 3 m ( 1 ) = I ? 1 m ( 1 ) ⋅ j X L 2 ( 1 ) R + j ( X L 2 ( 1 ) − X C 2 ( 1 ) ) = 0,0253 ⋅ e j 101,66 ° А ; I ? 3 m ( 2 ) = I ? 1 m ( 2 ) ⋅ j X L 2 ( 2 ) R + j ( X L 2 ( 2 ) − X C 2 ( 2 ) ) = 0,0183 ⋅ e j 33,32 ° А ; I ? 3 m ( 4 ) = I ? 1 m ( 4 ) ⋅ j X L 2 ( 4 ) R + j ( X L 2 ( 4 ) − X C 2 ( 4 ) ) = 0,0043 ⋅ e − j 66,59 ° А ; I ? 3 m ( 6 ) = I ? 1 m ( 6 ) ⋅ j X L 2 ( 6 ) R + j ( X L 2 ( 6 ) − X C 2 ( 6 ) ) = 0,0019 ⋅ e − j 81,26 ° А .

Мгновенные значения токов ветвей цепи

i 1 ( t ) = 0,605 sin ( ω t + 7,3 ° ) + 0,219 sin ( 2 ω t − 121,9 ° ) + + 0,026 sin ( 4 ω t − 148,7 ° ) + 0,0078 sin ( 6 ω t − 158,2 ° ) А ; i 2 ( t ) = 0,608 sin ( ω t + 4,9 ° ) + 0,219 sin ( 2 ω t − 126,7 ° ) + + 0,026 sin ( 4 ω t − 158,3 ° ) + 0,0076 sin ( 6 ω t − 172,4 ° ) А ; i 3 ( t ) = 0,0253 sin ( ω t + 101,7 ° ) + 0,0183 sin ( 2 ω t − 33,3 ° ) + + 0,0043 sin ( 4 ω t − 66,6 ° ) + 0,0019 sin ( 6 ω t − 81,3 ° ) А .

Комплексные амплитуды гармоник напряжений

U ? в ы х m ( 0 ) = U ? L 2 m ( 0 ) = 0 ; U ? в ы х m ( 1 ) = U ? L 2 m ( 1 ) = j X L 2 m ( 1 ) ⋅ I 2 m ( 1 ) = j 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,6075 ⋅ e j 4,93 ° = 2,290 ⋅ e j 94,93 ° В ; U ? в ы х m ( 2 ) = U ? L 2 m ( 2 ) = j X L 2 m ( 2 ) ⋅ I 2 m ( 2 ) = j 2 ⋅ 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,2190 ⋅ e − j 126,69 ° = 1,651 ⋅ e − j 36,69 ° В ; U ? в ы х m ( 4 ) = U ? L 2 m ( 4 ) = j X L 2 m ( 4 ) ⋅ I 2 m ( 4 ) = j 4 ⋅ 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,0260 ⋅ e − j 158,28 ° = 0,392 ⋅ e − j 68,28 ° В ; U ? в ы х m ( 6 ) = U ? L 2 m ( 6 ) = j X L 2 m ( 6 ) ⋅ I 2 m ( 6 ) = j 6 ⋅ 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,0076 ⋅ e − j 172,39 ° = 0,172 ⋅ e − j 82,39 ° В .

Читайте также:  Определение момента двигателя постоянного тока

Определим показания электродинамических амперметра и вольтметра

I A = [ I 3 m ( 1 ) ] 2 + [ I 3 m ( 2 ) ] 2 + [ I 3 m ( 4 ) ] 2 + [ I 3 m ( 6 ) ] 2 2 = 0,022 А ; U V = [ U L 2 m ( 1 ) ] 2 + [ U L 2 m ( 2 ) ] 2 + [ U L 2 m ( 4 ) ] 2 + [ U L 2 m ( 6 ) ] 2 2 = 2,02 В .

Найдем активную мощность, отдаваемую источником,

P и с т = P и с т ( 0 ) + P и с т ( 1 ) + P и с т ( 2 ) + P и с т ( 4 ) + P и с т ( 6 ) = = U 0 I 1 ( 0 ) + U ( 1 ) I 1 ( 1 ) cos φ ( 1 ) + U ( 2 ) I 1 ( 2 ) cos φ ( 2 ) + U ( 4 ) I 1 ( 4 ) cos φ ( 4 ) + U ( 6 ) I 1 ( 6 ) cos φ ( 6 ) = = 0 + 16,5 + 2,17 + 0,03 + 0,003 = 18,7 В т ,

где сдвиг фаз между током и напряжением гармоник

φ ( k ) = φ U в х ( k ) − φ I 1 ( k ) .

Активная мощность нагрузки

P н а г р = I 1 2 ⋅ R + I 3 2 ⋅ R = = 0,455 2 ⋅ 90 + 0,022 2 ⋅ 90 = 18,7 В т .

где действующие значения токов

I 1 = I 1 ( 0 ) + I 1 ( 1 ) + I 1 ( 2 ) + I 1 ( 4 ) + I 1 ( 6 ) = 0,455 А ; I 3 = I A = 0,022 А .

Численный расчет баланса мощностей

Вычислим для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

Действующее значение входного напряжения

U = U 0 2 + [ U ( 1 ) ] 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + . + [ U ( k ) ] 2 + . ≈ = U 0 2 + [ U ( 1 ) ] 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + [ U ( 4 ) ] 2 + [ U ( 6 ) ] 2 = = U 0 2 + [ U m ( 1 ) ] 2 + [ U m ( 2 ) ] 2 + [ U m ( 4 ) ] 2 + [ U m ( 6 ) ] 2 2 = = 35,014 2 + 55 2 + 23,343 2 + 4,669 2 + 2,001 2 2 = 54,99 В .

Для однополупериодного выпрямления:

k ф = U U с р . в ы п р = 55,0 35,0 = 1,57 ;

k а = U max U = 110 55 = 2 ;

k и = U ( 1 ) U = U m ( 1 ) 2 U = 38,9 55,0 = 0,707.

И, наконец, по полученному в ходе решения аналитическому выражению для выходного напряжения, построим график его изменения (рис. 4.5)

u в ы х ( t ) = 2,290 sin ( ω t + 94,9 ° ) + 1,651 sin ( 2 ω t − 36,7 ° ) + + 0,392 sin ( 4 ω t − 68,3 ° ) + 0,172 sin ( 6 ω t − 82,4 ° ) В .

Рис. 4.5 График несинусоидального периодического выходного напряжения

Задача 4.4 К генератору с напряжением

u ( t ) = 30 + 120 sin 1000 t + 60 sin ( 2000 t + π 4 ) + 40 sin ( 4000 t + π 6 ) В ,

подключена цепь, собранная по схеме рис. 4.6.

Рис. 4.6 Схема цепи, подключенной к генератору напряжения

Найти показания трех амперметров электродинамической системы.

Параметры элементов цепи: L1 = 40 мГн, C1 = 25 мкФ, R =30 Ом, L2 = 10 мГн, C2 = 6,25 мкФ.

Решение Расчет цепи производим, начиная с постоянной составляющей. Ток постоянной составляющей проходит через катушку L1, активное сопротивление R и катушку L2. Ограничен он только сопротивлением R. Следовательно, постоянная составляющая тока (ток нулевой гармоники)

I 0 = U 0 R = 30 30 = 1 А .

Находим сопротивление элементов цепи первой гармонике

X L 1 ( 1 ) = ω L 1 = 1000 ⋅ 40 ⋅ 10 − 3 = 40 О м ; X C 1 ( 1 ) = 1 ω C 1 = 10 6 1000 ⋅ 25 = 40 О м .

Дальнейшее определение сопротивлений элементов цепи первой гармонике не имеет смысла, так как оказалось, что первый контур настроен на частоту первой гармоники и поэтому его общее сопротивление первой гармонике равно бесконечности (резонанс токов) и напряжение первой гармоники приложено к первому контуру. Ток первой гармоники будет циркулировать только в первом контуре и не пойдет ни через амперметр А1, ни через амперметр А3.

Действующее значение тока первой гармоники через второй амперметр

I 2 ( 1 ) = U 1 ( 1 ) X C 1 ( 1 ) = U ( 1 ) X C 1 ( 1 ) = 120 2 40 = 2,12 А .

Находим теперь сопротивления элементов цепи второй гармонике

X L 1 ( 2 ) = 2 ω L 1 = 2 X L 1 ( 1 ) = 2 ⋅ 40 = 80 О м ; X C 1 ( 2 ) = 1 2 ω C 1 = X C 1 ( 1 ) 2 = 40 2 = 20 О м ; X L 2 ( 2 ) = 2 ω L 2 = 2 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 10 − 3 = 20 О м ; X C 2 ( 2 ) = 1 2 ω C 2 = 10 6 2 ⋅ 1000 ⋅ 6,25 = 80 О м .

Сопротивление всей цепи второй гармонике

Z _ ( 2 ) = Z _ 1 ( 2 ) + R + Z _ 2 ( 2 ) = j X L 1 ( 2 ) ⋅ ( − j X C 1 ( 2 ) ) j X L 1 ( 2 ) + ( − j X C 1 ( 2 ) ) + R + j X L 2 ( 2 ) ⋅ ( − j X C 2 ( 2 ) ) j X L 2 ( 2 ) + ( − j X C 2 ( 2 ) ) = = j 80 ⋅ ( − j 20 ) j 80 + ( − j 20 ) + 30 + j 20 ⋅ ( − j 80 ) j 20 + ( − j 80 ) = − j 27,6 + 30 + j 27,6 = 30 О м

чисто активное, то есть на частоте второй гармоники в цепи имеет место резонанс напряжений.

Неразветвленный ток второй гармоники в цепи

I 1 ( 2 ) = U ( 2 ) Z ( 2 ) = 60 2 30 = 1,41 А .

Падение напряжения на первом контуре

U 1 ( 2 ) = I 1 ( 2 ) ⋅ Z 1 ( 2 ) = 1,41 ⋅ 26,7 = 37,65 В .

Ток второй гармоники через второй амперметр

I 2 ( 2 ) = U 1 ( 2 ) X C 1 ( 2 ) = 37,65 20 = 1,88 А .

Параметры цепи заданы такими, что ток второй гармоники через третий амперметр оказался равным той же величине

U 2 ( 2 ) = I 1 ( 2 ) ⋅ Z 2 ( 2 ) = 1,41 ⋅ 26,7 = 37,65 В ; I 3 ( 2 ) = U 2 ( 2 ) X L 2 ( 2 ) = 37,65 20 = 1,88 А .

Сопротивление цепи четвертой гармонике равно бесконечности, так как второй контур настроен на частоту четвертой гармоники

X L 2 ( 4 ) = 4 X L 2 ( 1 ) = 4 ⋅ 10 = 40 О м ; X C 2 ( 4 ) = X C 2 ( 1 ) 4 = 160 4 = 40 О м .

Поэтому ток четвертой гармоники будет проходить только через третий амперметр второго контура

I 3 ( 4 ) = U 2 ( 4 ) X L 2 ( 4 ) = U ( 4 ) X L 2 ( 4 ) = 40 2 40 = 0,71 А .

Найденные действующие значения токов отдельных гармоник через амперметры и показания этих амперметров, определенные по формуле

I = I 0 2 + [ I ( 1 ) ] 2 + [ I ( 2 ) ] 2 + [ I ( 4 ) ] 2 + .

и выраженные в амперах, приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Действующие значения токов отдельных гармоник через амперметры и показания этих амперметров

Источник

Расчет трехфазной цепи несинусоидального тока

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  • в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  • в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1. Максимальное значение — .
  2. Действующее значение — .
  3. Среднее по модулю значение — .
  4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) — .
  5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) — .
  6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) — .
  7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) — .
  8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) — .

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

Здесь — постоянная составляющая или нулевая гармоника; — первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

Читайте также:  За 10 секунд через катушку гальванометра проходит 100 кл электрического заряда определите силу тока

    Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Тогда для активной мощности можно записать

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

Аналогично для реактивной мощности можно записать

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.
  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
  2. Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
  3. Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системы координат?
  4. Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
  5. Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
  6. Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.

Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если ; .

Источник

Расчёт трёхфазных цепей при несинусоидальных периодичесих ЭДС, напряжениях, токах (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7

4. РАСЧЁТ ТРЁХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ

ПЕРИОДИЧЕСИХ ЭДС, НАПРЯЖЕНИЯХ, ТОКАХ

Цель: освоить методику расчёта трёхфазных цепей при несинусоидальных периодических ЭДС.

4.1. Задание по самоподготовке

1. Проработать тему «Высшие гармоники в трёхфазных цепях», изучить этот же материал по литературе [1] § 7.13; [2] § 12.10; [7] § 1.18…1.20.

2. Повторить методику расчёта однофазных электрических цепей при несинусоидальных периодических ЭДС и напряжениях [6] § 6.1…6.9; [8] § 15.

3. Рассмотреть примеры из раздела 4.3.

4. Ответить на контрольные вопросы.

4.2. Методические указания

Методика расчёта трёхфазных цепей при несинусоидальных периодических ЭДС сочетает в себе методику расчёта трёхфазных цепей при синусоидальных ЭДС (см. п. п. 1, 2 настоящих методических указаний) и методику расчёта однофазных электрических цепей при несинусоидальных периодических ЭДС и напряжениях [8] § 15.

После разложения несинусоидальных периодических ЭДС в ряд Фурье следует учитывать, что в трёхфазной цепи гармоники порядка 1, 4, 7, 10, 13 образуют симметричные системы напряжений прямой последовательности, гармоники 2, 5, 8, 11, 14 образуют симметричные системы напряжений обратной последовательности, гармоники, кратные трём, т. е. 3, 6, 9, 12 образуют системы напряжений нулевой последовательности. В большинстве практически важных случаев в напряжениях отсутствуют постоянная составляющая и все чётные гармоники, поэтому при расчётах обычно фигурируют только нечётные гармоники.

Например, несинусоидальное напряжение фазы А трёхфазного симметричного генератора после разложения в ряд Фурье имеет вид:

Тогда симметричная система действующих значений фазных и линейных напряжений 1-й гармоники (рис. 4.1) в комплексной форме запишется следующим образом:

Для 3-й гармоники:

В линейных напряжениях 3-я гармоника отсутствует.

Для 5-й гармоники (рис. 4.2):

В случае, если цепь симметричная, расчёт проводится для одной фазы; если несимметричная – для каждой фазы в отдельности.

4.3.1. Определить токи, мгновенное и действующее значения напряжения u af , активную и полную мощности трёхфазной цепи (рис. 4.3), если B , сопротивления для первой гармоники: R = 80 0м; XL = 6 Ом, XC = 30 Ом.

Так как напряжение генератора несинусоидальное, то расчет выполняем для каждой гармоники отдельно. Так как трёхфазная цепь симметричная, токи рассчитываем для одной фазы.

Генератор и приёмник, соединенные треугольником, преобразуем в эквивалентные генератор и приёмник, соединённые звездой (рис. 4.4).

При записи фазного напряжения uA по заданному линейному напряжению uA В учитываем, что напряжения 1-й гармоники образуют систему с прямым порядком следования фаз, а напряжения 5-й гармоники – систему с обратным порядком следования фаз.

Или для комплексных действующих значений

Найдём сопротивления фазы нагрузки, соединенной треугольником, для 1-й и 5-й гармоник:

Рассчитываем сопротивление фазы эквивалентной нагрузки, соединённой звездой, для 1-й и 5-й гармоник:

Z 1 = O м;

Z 5 = O м.

Расчёт токов и напряжений 1-й гармоники:

фазный ток потребителя, соединённого треугольником,

Для определения напряжения u af составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abfa (рис. 4.3)

Ток 1-й гармоники в фазе bc

Расчет токов и напряжений 5-й гармоники:

Мгновенное значение напряжения

Действующее значение напряжения

Действующее значение тока в линии

Действующее значение фазного тока потребителя

Проверка по закону Джоуля-Ленца:

4.3.2 . Определить показание амперметра (рис. 4.5), если

Так как режим симметричный, расчет ведем для одной фазы.

Определяем комплексную амплитуду тока первой гармоники:

Определяем комплексную амплитуду тока третьей гармоники

Определяем комплексную амплитуду тока пятой гармоники

Действующее значение тока пятой гармоники

Показание амперметра

4.4. Задачи для самостоятельного решения

4.4.1. Фазная ЭДС симметричного трехфазного генератора, соединенного звездой, содержит первую, третью и пятую гармоники с амплитудами ; ; Определить действующее значение фазного и линейного напряжений генератора.

4.4.2. Определить показание амперметра и вольтметра (рис. 4.6), если В, сопротивления для первых гармоник

4.5. Индивидуальные задания

Определить показание амперметра (рис. 4.7). Трёхфазный генератор и приемник симметричны. Значения напряжения генератора и сопротивлений для первых гармоник указаны в таблице 4.1.

Источник



Расчет электрических цепей несинусоидального тока

date image2014-02-09
views image9315

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Расчет электрических цепей, содержащих источники энергии [источники ЭДС e(t)и источники тока j(t)] с несинусоидальной формой кривой, выполня­ется по методу положения. Процедуру расчета можно условно разделить на три этапа.

На этом этапе выполняется разложение несинусоидальных функций ис­точников ЭДС e(t)и источников тока j(t)в гармонический ряд Фурье:

Для проведения анализа структуры функций e(t) и j(t)количество гармо­ник в их раз­ложении определяютзначительно боль­ше, чем необходимо для расчета схемы.

Производится аналитический расчет схемы последовательно для каждой гармоники в отдельности. Для постоянной составляющей расчет производится как для резистивной цепи постоянного тока, при этом участки с катушками L закорачиваются, а ветви с конден­сато­рами C размыкается. Расчет схемы для от­дель­ных гармоник производится как для цепи си­нусои­дального тока, т.е. в ком­плексной форме, при этом определяются не действующие зна­чения, а ком­плексные амплитуды токов и напряжений (). Расчет для каждой гармо­ники выпол­няется по одному и тому же алгоритму, при этом учитывается зави­симость реактивных со­противлений элементов от частоты и, следовательно, от номера гармо­ники: . Выбор расчет­ного метода определяется структурой расчетной схемы.

Количество гармоник, для которых выполняется расчет схемы, устанав­ливается ис­ходя из конкретных условий задачи. Например, если определяются только действующие значения токов и напряжений (I, U), то достаточно учи­тывать только те гармоники, для ко­торых коэффициент , при этом от­но­сительная погрешность расчета в итоге не пре­высит 1% . Од­нако в тех слу­чаях, когда требуется проводить исследование форм кривых функций u(t) и i(t), то необходимо учи­тывать также гармоники более высокого порядка с меньшим коэффициентом гармоник .

На заключительной стадии расчета определяются искомые величины со­гласно усло­вию задачи.

Мгновенные значения токов и напряжений i(tu(t) определяются в соответствии с принципом наложения как алгебраической суммы мгновенных значений отдельных состав­ляющих, например:

При необходимости исследования формы кривых функций i(t) и u(t) по полученным уравнениям строится их графические диаграммы.

Действующие значения токов и напряжений (I, U) находятся как средне­квадратич­ные значения этих функций по полученным ранее формулам, напри­мер:

Активные мощности отдельных элементов определяется как суммы ак­тивных мощ­ностей этих элементов для отдельных гармоник, например:

Активную мощность отдельных приемников можно определять также по формуле Джоуля: , где -действующее значение тока этого при­емника.

Определяются коэффициенты исследуемых несинусоидальных функций: ku — коэф­фициент искажения, kф -коэффициент формы kг -коэффициенты от­дельных гармоник и т. д.

Пример. На входе схемы (рис. 123а) с заданными параметрами элемен­тов (R1=30 Ом, R2=20 Ом, L=100 мГн, С=22 мкФ) действует источник несину­сои­дальной ЭДС (рис. 123б) с час­тотой f=50 Гц. Требуется определить 1) дейст­вую­щие значения ЭДС Е и токов I, I1, I2; 2) ко­эффициенты искажения функций ЭДС e(t)и токов i(t), i1(t), i2(t); 3) баланс активных мощно­стей .

1-ый этап. Разложение заданной графически функции ЭДС е(t) (рис. 123б) в гармониче­ский ряд Фурье производится с помощью ЭВМ по программе GAR, в результате получим:

Примечание: гармоники, кратные трем, в разложении данной функции отсутст­вуют.

2-ой этап. Производится расчет схемы для каждой гармоники в отдельно­сти в ком­плексной форме по од­ному и тому же алгоритму:

; ; , где k — номер гармоники.

Результаты расчета сведены в общую таблицу. Расчет останавливаем на 5-ой гармо­нике, так как амплитуды более высоких гармоник в функции e(t) не­значительны и их учет уже не повлияет на конечные результаты расчета.

k Ekm Ikm I1km I2km
157,9 e j 0 3,081 e -j 30,4 3,634 e -j 46,3 1,080 e j 82,1
39,5 e j 180 0,385 e j 180 0,576 e j 115,5 0,526 e -j 105,4
9,9 e j 0 0,190 e j 45,2 0,077 e -j 76,54 0,240 e j 61,1
6,3 e j 180 0,154 e -j 135,1 0,039 e j 100,8 0,179 e -j 124,6

3-ый этап. Определяются интегральные параметры искомых функций. Действующие значения функций:

В; I=2,20 A; I1=2,60 A; I3=0,88 A.

Коэффициенты искажения формы кривых для функций e(t), i(t), i1(t), i2(t):

; ; .

Активная мощность источника энергии:

Вт.

Активная мощность приемников энергии :

Вт; Вт.

Баланс мощностей:

Анализ результатов решения и выводы:

1. Для определения действующих значений величин и активных мощно­стей можно было бы пренебречь 4-ой и 5-ой гармониками, однако для опреде­ления коэффициентов ис­кажения формы кривых учет названных гармоник не­обходим.

2. Величина и характер входного сопротивления схемы зависит от номера гармо­ники: для 1-ой гармоники ( ) – входное сопротивление носит активно-индук­тивный ха­рактер; для 2-ой гармоники ()– входное сопро­тивление носит чисто активный характер, т.е. на частоте 2-ой гармоники имеет место резонанс токов; для 4-ой гармоники ()– входное сопротивле­ние носит активно-емкостный характер.

3. Форма кривой функции тока i1(t)в ветви с катушкой искажена меньше, чем форма кривой источника ЭДС e(t) () , а форма кривой тока i2(t)в ветви с конден­сато­ром, наоборот, искажена больше (). Такие соотношения между коэффициен­тами ис­кажения форм кривых объясняются за­висимостью реактивных сопротивлений от час­тоты: .

8. Измерение действующих значений несинусоидальных токов и на­пряжений

Для измерения действующих значений токов и напряжений в цепях пере­менного си­нусоидального тока применяются различные приборы, отличаю­щиеся по принципу их дей­ствия или системой. Независимо от устройства шкалы всех приборов для измерения дейст­вующих значений токов и напряже­ний проградуированы в действующих значениях измеряе­мых величин.

Приборы непосредственного измерения (к таким относятся приборы элек­тромагнит­ной и электродинамической систем) реагирует на действующее зна­чение измерянной вели­чины (I, U) и, следовательно, для их шкал коэффициент пересчета равен единице (кn=1) .

Приборы косвенного измерения могут реагировать на среднее (Iср, Uср) или на мак­си­мальное (Imax, Umax) значение измеряемой величины, но их показа­ния пересчитываются к действующим значениям синусоидальных функций.

Для приборов, реагирующих на среднее значение, коэффициент пере­счета равен:

Для приборов, реагирующих на максимальное значение, коэффициент пе­ресчета ра­вен:

Действующее значение несинусоидальной функции зависит только от ам­плитуд от­дельных гармоник, в то же время ее максимальное и среднее значения зависят как от ампли­туд гармоник, так и от их фазовых сдвигов. Из этого сле­дует вывод, что показания приборов косвенного измерения, реагирующих на максимальное или среднее значение, в цепях несину­соидального тока не будут соответствовать действующим значениям измеряемых величин.

Рассмотрим два примера. Пусть измеряемое напряжение содержит 1-ю и 3-ю гармо­ники, но с разными фазовыми сдвигами между ними:

a), (рис. 124а),

б) , (рис. 124б).

Действующие (U), максимальные ( Umax) и средние (Uср) значения этих напряжений, рассчитанные математически по соответствующим формулам, а также показания приборов различных систем (V1 – непосредственного измере­ния, V2 — косвенного измерения с реакцией на максимальное значение Umax и V3 — косвенного измерения с реакцией на среднее значение Uср) приведены ниже в таблице.

Схема U, B Umax, B Ucp,B V1 V2 V3
а) 71,1 65,8 71,1 63.6 73,0
б) 71,1 61,6 71,1 77,8 68,4

Как видно из приведенных в таблице цифр, показания приборов косвен­ного измерения существенно зависят от фазового сдвига между гармониками, при этом методическая по­грешность измерения может составлять значительную величину (в рассматриваемом примере около 10 %).

Источник