Меню

Расчет сложных цепей постоянного току путем кирхгофа

Расчет сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа

Разделы: Физика

Технология урока: интерактивная.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

образовательные:

  • помочь учащимся получить представление об основах расчета сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа;
  • разобраться в выборе направлений протекания токов и обходов контуров;
  • воспитательные:

  • воспитание информационной культуры учащихся, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, организованности;
  • развивающие:

  • развитие познавательных интересов;
  • самоконтроля;
  • умения конспектировать;
  • памяти.
  • Оборудование: доска, компьютер, мультимедиа проектор, программа презентаций Microsoft Office PowerPoint 2003.

    Методическое обеспечение урока: компьютерная презентация, электронные тесты, карточки самоконтроля учащихся, карточка контроля учащихся

    План проведения урока.

    Организационный момент – 2 мин.

    Проверка и актуализация опорных знаний – 5 мин.

    Объяснение нового материала – 20 мин.

    Проверка усвоения новых знаний и умений – 12 мин.

    Подведение итогов – 4 мин.

    Домашнее задание – 2 мин.

    Учащиеся заходят в класс, приветствуют преподавателя, рассаживаются, достают тетради и ручки

    Формулировка темы урока. Постановка цели урока

    Учитель сообщает тему урока “Расчет сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа” и его план.

    Сегодня мы проверим, как вы усвоили материал прошлого урока и научимся рассчитывать сложные цепи постоянного тока по законам Кирхгофа. Затем мы проверим, как вы усвоили новый материал.

    У вас на столах лежат карточки самоконтроля. В них вы будете заносить полученные баллы за ответы на уроке, а также за тест. За каждый правильный устный ответ вы будете ставить себе один балл. За каждый правильный ответ на вопрос из теста оценивается также в один балл. На доске находится таблица соответствия набранных баллов оценке. При подведении итогов урока вы выставите эти оценки в карточки самоконтроля и сдадите их. Эти оценки будут выставлены в журнал.

    В конце урока вы получите домашнее задание.

    Проверка опорных знаний

    Дайте определение сложной электрической цепи.

    Сложными называются разветвленные электрические цепи со многими источниками энергии.

    Дайте формулировку I закону Кирхгофа.

    Алгебраическая сумма токов в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным. Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу равна сумме токов, направленных от узла.

    где Ii – ток в узле,

    n – число проводников, сходящихся в узле

    Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает.

    Дайте формулировку II закону Кирхгофа

    Алгебраическая сумма падений напряжений на всех ветвях, принадлежащих любому замкнутому контуру цепи, равна алгебраической сумме ЭДС ветвей этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю.

    Объяснение нового материала

    На рисунке представлена схема электрической цепи.

    Для ее расчета, т.е. для определения токов во всех ее ветвях, необходимо составить систему уравнений по законам Кирхгофа. Общее число уравнений в системе должно соответствовать числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей.

    Давайте посчитаем количество ветвей в нашей электрической цепи.

    Получилось пять ветвей, а значит и пять неизвестных токов I1, I2, I3, I4 и I5 (токам пока не задано направление).

    По первому закону Кирхгофа составляется число уравнений, на единицу меньшее числа узлов цепи, поскольку уравнение для последнего узла есть следствие всех предыдущих уравнений и не дает ничего нового для расчета.

    Посчитаем количество узлов электрической цепи.

    В цепи три узла, значит по 1-му закону Кирхгофа надо составить (3 – 1 = 2) два уравнения.

    По второму закону Кирхгофа составляются все недостающие уравнения для любых произвольно выбранных контуров цепи.

    Посчитаем количество недостающих уравнений: 5 – 2 = 3.

    В нашем примере по II закону Кирхгофа надо составить три уравнения.

    Предварительно следует задаться (произвольно) направлением токов во всех ветвях цепи и направлением обхода выбранных контуров.

    Заметим, что произвольность выбора направлений токов в ветвях цепи и направлений обхода контуров не влияет на конечный результат расчета. Если в результате расчетов некоторые из найденных токов будут иметь знак (–), то это будет означать, что их истинное направление противоположно предварительно принятому.

    Зададим направление токов во всех ветвях цепи.

    При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токи, подходящие к узлу, будем считать положительными и брать со знаком (+), а токи, отходящие от узла – отрицательными и брать со знаком (–).

    По I закону Кирхгофа надо составить два уравнения. Для этого выберем любые два узла цепи. Например, первый и второй.

    Зададим направление обхода выбранных контуров.

    При составлении уравнений по II закону Кирхгофа ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура будем брать со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (–).

    Запишем систему уравнений.

    Решим полученную систему уравнений и определим токи во всех пяти ветвях этой цепи.

    Количество уравнений по законам Кирхгофа = количество неизвестных токов цепи, т.е. количеству ветвей цепи.

  • Количество уравнений по I закону Кирхгофа = количество узлов цепи – 1.
  • Количество уравнений по II закону Кирхгофа = общее количество уравнений – количество уравнений по I закону Кирхгофа.
  • Для уравнений по I закону Кирхгофа: токи входящие в узел записываются со знаком (+), а выходящие – со знаком (–).
  • Для уравнений по II закону Кирхгофа: ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура записываются со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (–).
  • Читайте также:  Ток контактов открытый коллектор

    Проверка усвоения новых знаний и умений.

    Учащиеся выполняют тест (приложение 1). Проверяют его сами (приложение 2). Заполняют карточки самоконтроля (приложение 3). Выставляют себе отметки. Таблица соответствия отметок и баллов определяется учителем и выводится на доске.

    Источник

    Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

    При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.

    Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

    Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.

    Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].

    Первый закон Кирхгофа

    Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

    или в комплексной форме

    Второй закон Кирхгофа

    Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

    Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm<у>-1 $, где $ N_\textrm <у>$ – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm<в>-N_\textrm<у>+1 $, где $ N_\textrm <в>$ – число ветвей. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что контур с источником тока не рассматривается.

    Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

    Электрическая схема первый и второй закон Кирхгофа теоретические основы электротехники ТОЭ

    Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

    Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).

    Электрическая схема первый и второй закон Кирхгофа теоретические основы электротехники ТОЭ направление токов и обход контуров

    Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи

    Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока $ \underline_ <1>$, не рассматривается.

    Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

    $$ \underline_<1>— \underline_<2>— \underline_ <3>= 0; $$

    для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

    $$ -\underline_<1>— \underline_ <4>+ \underline_ <6>= 0; $$

    $$ \underline_<2>+ \underline_ <4>+ \underline_<5>— \underline_ <7>= 0; $$

    $$ \underline_<3>— \underline_<5>— \underline_ <1>= 0. $$

    Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.

    Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

    $$ \underline_ \cdot \underline_ <1>+ R_ <2>\cdot \underline_<2>— \underline_ \cdot \underline_ <4>= \underline_<1>; $$

    для контура «2 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

    $$ -R_ <2>\cdot \underline_ <2>+ R_ <4>\cdot \underline_ <3>+ \underline_ \cdot \underline_ <5>= \underline_<2>; $$

    для контура «3 к.»:

    $$ \underline_ \cdot \underline_ <4>+ (\underline_ + R_<1>) \cdot \underline_ <6>+ R_ <3>\cdot \underline_ <7>= \underline_<3>; $$

    где $ \underline_ = -\frac<1> <\omega C>$, $ \underline_ = \omega L $.

    Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

    $$ \begin \underline_<1>— \underline_<2>— \underline_ <3>= 0 \\ -\underline_<1>— \underline_ <4>+ \underline_ <6>= 0 \\ \underline_<2>+ \underline_ <4>+ \underline_<5>— \underline_ <7>= 0 \\ \underline_<3>— \underline_<5>— \underline_ <1>= 0 \\ \underline_ \cdot \underline_ <1>+ R_ <2>\cdot \underline_<2>— \underline_ \cdot \underline_ <4>= \underline_ <1>\\ -R_ <2>\cdot \underline_ <2>+ R_ <4>\cdot \underline_ <3>+ \underline_ \cdot \underline_ <5>= \underline_ <2>\\ \underline_ \cdot \underline_ <4>+ (\underline_ + R_<1>) \cdot \underline_ <6>+ R_ <3>\cdot \underline_ <7>= \underline_ <3>\end $$

    Читайте также:  Схема включения электродинамического ваттметра в цепь однофазного тока

    В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

    $$ \begin 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \underline_ & R_ <2>& 0 & -\underline_ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -R_ <2>& R_ <4>& 0 & \underline_ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \underline_ & 0 & R_<1>+\underline_ & R_ <3>\\ \end \cdot \begin \underline_ <1>\\ \underline_ <2>\\ \underline_ <3>\\ \underline_ <4>\\ \underline_ <5>\\ \underline_ <6>\\ \underline_ <7>\\ \end = \begin 0 \\ 0 \\ 0 \\ \underline_ <1>\\ \underline_ <1>\\ \underline_ <2>\\ \underline_ <3>\\ \end $$

    Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

    В результате получим вектор-столбец $ \underline<\bold> $ токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

    Список использованной литературы

    1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

    Рекомендуемые записи

    При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов…

    Расчёт матриц передачи многополюсников различной формы осуществляется достаточно просто. Матрицы передачи — это математическое описание рассматриваемой…

    Добавить комментарий Отменить ответ

    Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

    Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

    Источник

    Учебные материалы

    Помощь студентам

    Согласно первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю:

    Согласно второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур.

    Расчет многоконтурной линейной электрической цепи, имеющей «b» ветвей с активными и пассивными элементами и «у» узлов, сводится к определению токов отдельных ветвей и напряжений на зажимах элементов, входящих в данную цепь.

    Пассивной называется ветвь, не содержащая источника ЭДС. Ветвь, содержащая источник ЭДС, называется активной.

    1-й закон Кирхгофа применяют к независимым узлам, т.е. таким, которые отличаются друг от друга хотя бы одной новой ветвью, что позволяет получить (y — I) уравнений.

    Недостающие уравнения в количестве b — (у — I) составляют, исходя из второго закона Кирхгофа. Уравнение записывают для независимых контуров, которые отличаются один от другого, по крайней мере, одной ветвью.

    Порядок выполнения расчета:

    1. выделяют в электрической цепи ветви, независимые узлы и контуры;
    2. с помощью стрелок указывают произвольно выбранные положительные направления токов в отдельных ветвях, а также указывают произвольно выбранное направление обхода контура;
    3. составляют уравнения по законам Кирхгофа, применяя следующее правило знаков:
      1. токи, направленные к узлу цепи, записывают со знаком «плюс», а токи, направленные от узла,- со знаком «минус» (для первого закона Кирхгофа);
      2. ЭДС и напряжение на резистивном элементе (RI) берутся со знаком»плюс», если направления ЭДС и тока в ветви совпадают с направлением обхода контура, а при встречном направлении — со знаком «минус»;
    4. решая систему уравнений, находят токи в ветвях. При решении могут быть использованы ЭВМ, методы подстановки или определителей.

    Отрицательные значения тока какой-либо ветви указывают на то, что выбранные ранее произвольные направления тока оказались ошибочными. Это следует учитывать, например, при построении потенциальной диаграммы, где следует знать истинное направление тока.

    На рис. 4, а изображена исходная электрическая схема, для которой следует рассчитать токи в ветвях. Направления токов и обхода контуров приведены на рис. 4, б.

    Система уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид

    Источник

    

    Правила (законы) Кирхгофа простыми словами

    На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

    Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

    Первое правило Кирхгофа

    Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

    На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

    Схема контура

    Рис. 1. Схема контура

    Читайте также:  Физические величины работа тока сила тока мощность тока единицы измерения

    Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.

    На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

    Абстрактный узел

    Рис. 2. Абстрактный узел

    Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

    Формула сумма токов

    Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

    Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

    Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

    Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

    Второе правило Киргхофа

    Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

    При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

    Иллюстрация второго правила Кирхгофа

    Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

    Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

    Формулировки уравнений общего характера:

    Формулы для второго правила киргхофа

    , где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

    Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

    Закон Кирхгофа для магнитной цепи

    Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

    Магнитные контуры цепей

    Рис. 4. Магнитные контуры цепей

    То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

    Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

    Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

    При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

    Примеры расчета цепей

    Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4. Из них – два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

    Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.

    На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

    Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

    Пример для расчёта

    Рис. 5. Пример для расчёта

    Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

    1. 1 и 2.
    2. 1 и 3.
    3. 2 и 3.

    Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 + I2 – I3 = 0.

    Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

    Пишем уравнения:

    Решаем систему уравнений:

    Система уравнений

    Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

    Система уравнений

    Решая эту систему, получим:

    1. I1 = 1,36 (значения в миллиамперах).
    2. I2 = 2,19 мА.;
    3. I3 = 3,55 мА.

    Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:

    E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).

    Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.

    Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

    Источник