Меню

Пример расчета линейных цепей синусоидального тока

Пример расчета однофазной цепи синусоидального тока

Для электрической цепи рис. 35 известны: действующее значение приложенного напряжения В, частота питающей сетиf=50 Гц, резисторыR1=3 Ом, R2=2 Ом, индуктивностиL1=3,185мГн,L2=12,75мГн, емкостьС=254,8мкФ.

Определить токи, напряжения, мощности на всех участках и во всей цепи.

1. Определяем индуктивные и емкостное сопротивления цепи:

2. Запишем комплексы сопротивлений участков цепи:

Ом

Эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей:

Ом;

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

Ом.

Ток в неразветвленной части цепи определим по закону Ома. Для этого зададим направление приложенного напряжения и представим это напряжение в комплексной форме.

Пусть вектор приложенного напряжения совпадает с положительным направлением оси действительных чисел (рис. 36). Тогда

Падение напряжения на резисторе R1:

7. Падение напряжения на индуктивности L1:

8. Напряжение на параллельном участке определяются по второму закону Кирхгофа. Так как , то

Токи в параллельных ветвях находятся по закону Ома:

Векторная диаграмма токов и напряжений приведена на рис. 37.

Расчет мощностей:

а) мощность, вырабатываемая источником питания:

ВА;

Вт;Вар.

б) мощности, потребляемые нагрузкой:

— мощность сопротивления R1:

(нагрузка этого участка цепи носит активный характер);

— мощность участка цепи, содержащего активное сопротивление R2и индуктивностьL2:

мощность участка цепи, содержащего емкость С:

(нагрузка участка цепи емкостная);

— мощность участка цепи, содержащего индуктивность L1:

(нагрузка участка цепи индуктивная);

в) уравнение баланса мощностей:

Погрешность в расчетах не превышает 5%, следовательно, задача решена верно.

11. Модель заданной электрической цепи (рис. 38).

Полученные при моделировании показания приборов немного отличаются от расчетных, так как измерительные приборы имеют внутренние сопротивления, которые моделирующая система учитывает.

Цепи периодического несинусоидального тока Основные характеристики несинусоидальных периодических токов и напряжений

Большинство периодических функций, с которыми имеют дело в электротехнике и электронике, удовлетворяют условиям Дирихле, поэтому их можно представить в виде ряда Фурье:

где E, U, I— постоянные составляющие несинусоидальных ЭДС, напряжения, тока;

Em1, Um1, Im1— амплитуды гармоник ЭДС, напряжения, тока основной частоты;

Em2, Um2, Im2— амплитуды гармоник ЭДС, напряжения, тока двойной и других кратных частот;

1 циклическая частота гармоник основной частоты;

u1,u2,e1,e2,,i1,i2 — начальные фазы гармоник основной и кратных частот напряжения, ЭДС, тока.

Действующее значение любой периодической функции – среднеквадратичное значение: , т.е.

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального тока (напряжения, ЭДС) равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющейи квадратов действующих значений всех гармонических составляющих

Действующее значение несинусоидальных периодических величин не зависит от начальных фаз гармоник, а зависит только от их действующих значений (амплитуд).

Среднее значение периодической несинусоидальной величины за период:

Оно равно постоянной составляющей, так как суммарная площадь, ограниченная кривой за период любой гармонической составляющей, равна нулю.

.

Сравнивать несинусоидальные периодические величины можно при помощи трех коэффициентов: формы амплитуды, искажения.

где — амплитудное, среднее, действующее значения величины;

— действующее значение основной гармоники.

Источник

Расчет линейной электрической цепи однофазного синусоидального тока

Для цепи, изображенной на рис. 1 требуется:

  1. Определить комплексным методом действующие значения напряжений и токов на всех участках цепи.
  2. Определить активные, реактивные и полные мощности каждого участка цепи и всей цепи.
  3. Составить баланс активных и реактивных мощностей и оценить погрешность расчета.
  4. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Частота питающего напряжения 50 Гц.


Рис. 1

Исходные данные:
U = 127 В , r1 = 15 Ом , C1 = 60 мкФ, r2 = 10 Ом , L2 = 80 мГн, r3 = 15 Ом , C3 = 90 мкФ.

Решение. Заказать у нас работу! Решить онлайн! (New. )

  1. Определим комплексные сопротивления каждой ветви.

2. Определим полное сопротивление цепи.

3. Приняв найдем токи и напряжения в ветвях.

4. Определим активные, реактивные и полные мощности участков цепи и всей цепи целиком.

Читайте также:  Сварочный аппарат инвертор какого тока

Мощность первого участка:
(ВА)
Мощность второго участка:
(ВА)
Мощность третьего участка:
(ВА)
Полная мощность всей цепи:
(ВА)

Проверим баланс активных мощностей:
P = P1 + P2 + P3
P = 205,2 (BA)
P1 + P2 + P3 = 61,25 + 82,44 + 61,22 = 204,91 (Вт)
Абс. погр-ть Δ = P – (P1 + P2 + P3) = 205,2 – 204,91 = 0,29 (Bт)
Отн. погр-ть

Проверим баланс реактивных мощноcтей:
S = S1 + S2 + S3
S =- 153,96 (BA)
S1 + S2 + S3 = — 216,7 + 207,19 – 144,5 = — 154,01 (ВА)
Абс. погр-ть Δ = |S – (S1 + S2 + S3)| = |153,96 – 154,01| = 0,05 (BA)
Отн. погр-ть

5. Построим векторную диаграмму на комплексной плоскости.

Для этого определим напряжения на каждом элементе схемы.
(В)
(В)
(В)
(В)
(В)
(В)

Источник

3 Методы расчета линейных цепей синусоидального тока

Расчет электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях значительно упрощается с применением комплексных чисел. Поэтому необходимо тщательно изучить и понять принципы изображения векторов синусоидальных колебаний в виде комплексов в осях комплексной плоскости и усвоить обратный переход – от комплексов тока, напряжения и ЭДС к их мгновенным значениям.

Важно усвоить соотношения между токами и напряжениями для идеализированных элементов электрических цепей в виде активных сопротивлений, индуктивностей и емкостей. Надо помнить, что ток в активном сопротивлении совпадает по фазе с напряжением на его зажимах, ток в индуктивности отстает, а в емкости – опережает соответствующее напряжение на четверть периода.

При изучении свойств идеализированных элементов электрических цепей следует учитывать, что реактивные сопротивления индуктивности и емкости есть функции частоты и с помощью этих сопротивлений учитывается влияние соответственно ЭДС самоиндукции и токов смещения на режим цепи. Необходимо запомнить выражения комплексов сопротивлений и проводимостей для цепей с различными элементами. Кроме того, полезно установить аналитическим и графическим путем (пользуясь векторной диаграммой) связь между активными и реактивными составляющими токов и напряжений для пассивного двухполюсника с опережающим и с отстающим токами.

Все методы расчета линейных электрических цепей при постоянных токах и напряжениях целиком распространяются на электрические цепи без взаимной индукции при синусоидальных токах и напряжениях. При этом токи, ЭДС и сопротивления должны входить в уравнения электрического состояния в виде комплексов. Основными законами, применяемыми для расчета электрических цепей, являются законы Кирхгофа.

Полезной иллюстрацией расчета любой электрической цепи является ее топографическая диаграмма, которая позволяет находить графическим путем напряжения между любыми точками электрической цепи без дополнительных вычислений.

В цепях с взаимной индуктивностью появляется новая разновидность составляющих напряжения, обусловленная ЭДС взаимной индукции. В связи с этим расчет цепей с взаимной индукцией несколько сложней расчета цепей аналогичной конфигурации без взаимной индукции. На примерах сравнительно легко усвоить методику расчета таких цепей. Важным для практики примером цепи с взаимной индукцией является трансформатор без стального сердечника.
1 Методы расчета линейных цепей синусоидального тока

Полезной иллюстрацией расчета любой электрической цепи является ее топографическая диаграмма, которая позволяет находить графическим путем напряжения между любыми точками электрической цепи без дополнительных вычислений

Все методы расчета линейных электрических цепей при постоянных токах и напряжениях целиком распространяются на электрические цепи без взаимной индукции при синусоидальных токах и напряжениях. При этом токи, ЭДС и сопротивления должны входить в уравнения электрического состояния в виде комплексов. Основными законами, применяемыми для расчета электрических цепей, являются законы Ома и Кирхгофа

При резонансе характер нагрузки становится чисто активным, а напряжение на входе нагрузки совпадает с током нагрузки по фазе

В цепях с взаимной индуктивностью появляется новая разновидность составляющих напряжения, обусловленная ЭДС взаимной индукции. В связи с этим расчет цепей с взаимной индукцией несколько сложней расчета цепей аналогичной конфигурации без взаимной индукции

Источник



Читайте также:  Ощущение как будто проходит ток по телу

Приложение 1. Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока

Все графические методы расчета цепей синусоидального тока не обеспечивают точного расчета электрических цепей, кроме того, они сложны и трудоемки.

Наиболее простым и точным методом расчета электрических цепей синусоидального тока является комплексный метод, основанный на теории комплексных чисел.

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с осями ±1 и ±j, где мнимая единица, символ.

За положительное направление вращения вектора принято направление против часовой стрелки. За время, равное одному периоду, вектор совершает один оборот.

На рис.4.5 изображен вектор комплексного тока , которому соответствует комплексное число

Рис.4.5. Составляющие комплексного числа на комплексной плоскости

где I — модуль действующего значения тока, равный длине вектора;

где — действительная составляющая тока; — мнимая составляющая; yi = arctg ( ) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е. угол между вектором и действительной полуосью +1 при t = 0. Аргумент положительный, если вектор отложен в направлении против движения часовой стрелки, и отрицательный — если по часовой.

Комплексные значения синусоидальных величин обозначают несинусоидальных — z, S.

Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия (при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму, а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показательную).

Алгебраическая форма записи:

Тригонометрическая форма записи:

İ = Icosyi + jsinyi .

Показательная форма записи:

İ = Ie j y i .

Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера через тригонометрическую форму записи

e ± j α =cosα±j sinα.

Например: İ = 10e j37º = 10cos37˚ + j10sin37º = 10 · 0,8 + j10 0,6 = = 8 + j6 = (8² + 6²) 1/2 e +jarctg6/8 = 10e +j37º (А).

При работе с комплексными числами используют и сопряженные комплексные величины, имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы:

İ = 10e j 37º , А; I* =10ej37º , А.

Произведение İ I* = 10e j 37º 10ej 37º = 100e j 0° , À.

Приложение 2.

Таблица Основные свойства элементов цепей переменного тока

Двухполюсник Резистор (резистивное сопротивление Катушка (индуктивное реактивное сопротивление Конденсатор (емкостное реактивное сопротивление)
Обозначение
Связь между мгновенными значениями u и i i= uR/R uL = Ldi/dt i = CduC/dt
Если задано uR = maxsinωt uL = Umaxsinωt uC = Umaxsinωt
То имеем i = maxsinωt/R i = Umaxsin(ωt – – π/2)/ωL = = Imax sin(ωt – π/2) i= ωCUmaxcosωt= = Imax sin(ωt +π/2)
Действующее значение тока I = UR/R I = ULL ICUC
Сопротивление (или соответственно реактивное сопротивление) R XL = ωL XC = 1/ωC
Сдвиг фаз φ = ψU – ψi = 0 φ = ψU – ψi =+90 ͦ φ = ψU – ψi = –90 ͦ
Сдвиг по фазе
Комплексное сопротивление
Расчет комплексным методом
Зависимость сопротивления от частоты R R ω XL ωL ω XC 1/ωC ω

Приложение 3.Расчет электрических цепей комплексным методом

Задача 1.

Определить ток и напряжения на участках цепи рис.1, если известны следующие данные:

R = 8 Ом; XL =6 Ом

Рис.1. Пример к расчету цепи с последовательным включением R и XL

Решение.

Комплексное сопротивление цепи, Ом:

где = arctqXL/R = 37°

Начальная фаза тока ψi = –37°.

Напряжения участков цепи, В :

Задача 2.

Определить ток, напряжения на участках цепи и мощности электрической цепи при последовательном соединении R, L и С рис.2, если известны следующие данные:

R = 8 Ом; XL =6 Ом, ХС = 12 Ом.

Рис. 2. Последовательное соединение R, L и С.

Решение.

Определяем комплексное сопротивление цепи, Ом:

где = arctq(XLС)/R = arctq (6 12)/8 = 37°

Определяем комплексный ток, А:

Определяем комплексные напряжения на участках цепи, В:

= 3872 – j2904

Определяем комплексную полную мощность цепи, ВА:

= = = =4840cos37º – j4840sin37 º = 3872 – j2904

Активная мощность, Вт:Р = 3872

Реактивная (емкостная) мощность, вар:

Задача 3.

Определить токи ветвей для схемы рис. 3, если известны следующие данные:

u(t) = 183sin314t; R1 = 8 Ом; R2 = 12 Ом; XL =6 Ом; XC = 5 Ом.

Рис. 3. Параллельное соединение ветвей с R-L и R-C

Читайте также:  Илья токов стихи ру

Решение.

Комплексное действующее входное напряжение цепи, В:

Комплексные токи параллельных ветвей, А:

Сумма комплексных токов параллельных ветвей, А:

Полученному комплексному току соответствует синусоидальный ток, А:

i(t) = 20

Задача 4.

В четырехпроводную сеть с линейным напряжением Uл =220 В, включен трехфазный приемник, соединенный по схеме «звезда» (рис.4). Комплексные сопротивления фаз приемника:

Найти комплексные токи в линейных и нейтральном проводах.

Решение.

Фазное напряжение, В:

Комплексные фазные напряжения, В:

Комплексные линейные токи равны соответственно комплексным фазным токам, А:

Комплексный ток в нейтральном проводе, А:

+ + + = ˗˗ 2,81 + j4,9 =5,9e j 120

Приложение 4. Техника безопасности при работе с электротехническими установками. Опасность поражения

Лабораторные стенды являются действующими электроустановками и при определенных условиях могут стать источником опасности поражения электрическим током. Дело в том, что тело человека обладает свойством электропроводности и при соприкосновении с неизолированными элементами установки, находящейся под напряжением, становится звеном электрической цепи. Возникший вследствие этого в теле человека электрический ток может вызвать ожог кожи (электрическую травму) или нанести тяжелые поражения нервной, сердечной и дыхательной системам организма (электрический удар).

Установлено, что как постоянный, так и переменный электрические токи при величине ),05 А являются опасными, а при величине 1 А – смертельными.

Чтобы оценить, при каком напряжении может быть нанесен серьезный ущерб здоровью человека или какое напряжение считать опасным для жизни, надо знать величину сопротивления тела человека. Однако, это чрезвычайно изменчивая величина, зависящая от свойств кожи человека, его душевного состояния и ряда других величин. Как показывают измерения, сопротивление тела человека может изменяться в широких пределах – от 700 до нескольких десятков тысяч Ом. Нетрудно посчитать, что напряжение даже в несколько десятков вольт (40 ÷ 60 В) может при неблагоприятном стечении обстоятельств создать условия, когда возможен электрический удар. Поэтому следует всегда помнить о возможности поражения электрическим током и соблюдать меры предосторожности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алиев, И. И. Электротехнический справочник / И. И. Алиев. – М.: Радио Софт, 2004. – 384 с.

2. Беневоленский С.Б. Основы электротехники /Беневоленский С.Б., Марченко С. Л. – Москва: Физматлит, 2006. – 566 с.

3. Горошко, В. И. Электротехника, основы электроники и электрооборудование химических производств / В. И. Горошко, И. О. Оробей, Л. М. Давидович. – Минск: БГТУ, 2006. – 246 с.

4. Григораш О. В. Электротехника и электроника /О. В. Григораш, Г. А. Султанов, Д. А. Нормов. – Ростов-на-Дону; Краснодар: Феникс: Неоглари, 2008. – 462с.

5. Данилов И. А. Общая электротехника / И. А. Данилов. – Москва: Высшее образование, 2009. – 673с.

6. Жаворонков М. А. Электротехника и электроника / Жаворонков М. А., Кузин А.В. – Москва: Академия, 2005. – 394с.

7. Иванов, И. И. Электротехника /Иванов И. И., Соловьев В. И, Равдоник В. С. – Изд. 3-е, Санкт-Петербург: Лань, 2005. – 496 с.

8. Касаткин, А. С. Электротехника / А. С. Касаткин, М. В. Немцов. 10-изд; – Москва: Академия, 2007. – 538 с.

9. Кононенко В. В. Электротехника и электроника / В. В. Кононенко и др; под ред. Кононенко В. В. 4-е изд. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2008. – 778 с.

10. Коровкина Н. П. Электротехника и основы электроники [Электронный ресурс]: Тексты лекций для студентов спец.1-36 07 01. 01, 1-36 07 01.02, 1-36 01 08, 62,8 мБ, формат pdt -2012г. Кафедра автоматизации производственных процессов и электротехники

11. Рекус, Г. Г. Основы электротехники и электроники в задачах с решениями / Рекус Г. Г. – Москва: Высшая школа, 2005. — 343с.

12. Электрические цепи. – Минск: БГТУ. 2005. – 56 с.

Источник