Меню

Определить магнитную индукцию в центре кольцевого проводника с током

Расчёт магнитных полей с помощью закона Био–Савара–Лапласа. Магнитное поле в веществе (Главы 3-4 учебного пособия по общей физике)

Страницы работы

Содержание работы

где v – скорость направленного движения свободных носителей заряда. Умножив В на количество свободных носителей заряда в элементе проводника dl, получим индукцию магнитного поля, созданную этим элементом проводника с током,

поскольку env= j*,

;

поскольку dl.j = dl.j (dl и j совпадают по направлению),

.

Таким образом, индукция магнитного поля, созданного элементом dl проводника с током I на расстоянии r от элемента проводника, определяется выражением

.

Это выражение и представляет собой закон Био–Савара–Лапласа.

Из закона видно, что вектор магнитной индукции dB всегда перпендикулярен плоскости, в ко-торой лежат векторы dl и r. Его направление определяется по правилу правого винта.

Модуль вектора dB определяется из выражения

,

где a – угол между векторами dl и r.

* Здесьj – вектор плотности тока.

Необходимо учесть, что полученное выражение позволяет рассчитать индукцию магнитного поля, созданную одним бесконечно малым элементом проводника dl с током I.

Для того чтобы найти магнитную индукцию, созданную всемпроводником, необходимо использовать принцип суперпозиции, т. е. просуммировать векторы dB, созданные каждым элементом проводника в интересующей нас точке.

3.4. Расчёт магнитных полей с помощью закона

Био–Савара–Лапласа

3.4.1. Индукция магнитного поля отрезка прямолинейного проводника с током

Для всех бесконечно малых элементов dl отрезка векторы dl и r лежат в плоскости листа. Поэтому векторы dB, созданные в выбранной нами точке различными элементами проводника направлены одинаково – перпендикулярно плоскости листа. Следовательно, сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей dB.

Из рисунка видно, что r = b/sina
(b – расстояние от проводника до инте-ресующей нас точки), и

.

Тогда индукция, созданная элементом проводника dl, равна

.

Индукция магнитного поля, созданного всем проводником, может быть найдена как интеграл от dB в пределах от a1 до + a2:

Иногда удобнее воспользоваться другим выражением:

(обратите внимание на рисунок, показывающий углы q1 и q2).

Обратите также внимание на то, что если точка расположена так, как показано на следующем рисунке, то q2 меняет знак и формула для расчёта магнитного поля прямолинейного отрезка записывается следующим образом:

.

3.4.2. Индукция магнитного поля бесконечно длинного

прямолинейного проводника с током

Если длина прямого проводника бесконечно велика, то a1 = 0, а a2 = p.

В этом случае индукция магнитного поля, созданного проводником, будет равна

.

Таким образом, индукция магнитного поля, созданного бесконечно длинным проводником прямо пропорциональна току в проводнике и обратно пропорциональна расстоянию от проводника до интересующей нас точки.

Дополнительно рассмотрим магнитное поле, созданное бесконечным проводником, который изогнут под прямым углом.

Ограничимся получением расчётной формулы для точки А, расположенной на продолжении одной из половин проводника.

Участок DB в точке А не создаёт магнитного поля, так как для него a1 и a2 равны 0.

Для участка ВС a1 = 90 0 , a2 = -180 0 . Поэтому индукция, созданная этим участком, равна

.

Таким образом, индукция магнитного поля в точке А равна половине индукции, созданной прямым бесконечно длинным проводником с таким же током.

3.4.3. Индукция магнитного поля в центре квадрата

Рассмотрим квадрат со стороной а, в котором течёт ток I.

Все стороны квадрата создают в его центре одинаковое магнитное поле. Поэтому если индукция, созданная одной стороной, равна В, то магнитная индукция, созданная всеми сторонами, равна 4В.

В рассматриваемом случае a1 = 45 0 , а a2 = 135 0 (см. рисунок).

Индукция магнитного поля, созданного одной стороной, равна:

.

Соответственно индукция магнитного поля, созданного всеми сторонами, равна

.

В показанном на рисунке случае индукция магнитного поля направлена перпендикулярно плоскости квадрата на нас.

3.4.4. Расчёт магнитного поля замкнутого кругового тока

(витка с током).

Пусть радиус витка равен R, а ток в нём – I.

Вначале рассмотрим расчёт поля в центре витка.

Каждый элемент тока будет создавать индукцию, направленную вдоль оси витка. Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение dB алгебраическое и

,

(в каждой точке a = 90 0 )

.

Поле на оси витка на расстоянии b от центра витка рассчитывается несколько сложнее. В этом случае векторы dB не параллельны друг другу.

При суммировании составляющие векторов dB, перпендикулярные оси, уничтожаются, а параллельные оси – складываются.

Из рисунка видно, что

;

.

Проинтегрировав это выражение по всему контуру, получаем

.

Источник

Определить магнитную индукцию в центре кольцевого проводника с током

Вы будете перенаправлены на Автор24

Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар изучали магнитные поля, создаваемые постоянными токами разной формы. Результаты их работы обобщил известный математик и физик П. Лаплас.

Применение закона Био – Савара – Лапласа к вычислению магнитного поля кругового тока

Закон Био-Савара–Лапласа описывает порождение магнитного поля током $I$ на элементе проводника длиной $dl$ в некоторой точке пространства ($\mu$ — магнитная проницаемость вещества в котором локализовано поле):

где $d \vec l ⃗$ — вектор, длина которого равна длине элемента проводника $dl$, направленный по току; $\vec r$ – радиус-вектор, который проведен от элемента $dl$ в точку, в которой исследуется магнитное поле. Поскольку в правой части формулы (1) находится векторное произведение, очевидно, что индукция элементарного магнитного поля будет направлена перпендикулярно плоскости, в которой находятся векторы $\vec r$ и $\vec l$ и при этом является касательной к силовой линии поля.

Готовые работы на аналогичную тему

Величину вектора $\vec$ из выражения (1) найдем как:

где $ \alpha $– угол между векторами $\vec r$ и $\vec l$ .

Конкретное направление $\vec$ находят по правилу буравчика (правилу правой руки):

Если правый винт вращать так, что его поступательное движение будет совпадать с направлением течения тока в избранном элементе, то вращение его головки укажет направление $\vec$.

Магнитные поля подчиняются принципу суперпозиции:

Читайте также:  Синхронный двигатель переменного тока его схема

Суммарную магнитную индукцию поля, создаваемого несколькими источниками, находят как геометрическую сумму векторов магнитной индукции отдельных полей:

$\vec=\sum\limits_^N \vec_ \left( 3 \right). $

Если распределение токов можно считать непрерывным, то принцип суперпозиции можно записать:

Вычисление магнитной индукции поля с применением закона Био-Савара-Лапласа довольно сложная процедура. Но при существовании определенной симметрии в распределении токов, используя, рассмотренный нами закон и принцип суперпозиции, рассчитать конкретные поля просто. В любом случае следует придерживаться следующей схемы действий:

  1. Выделить на проводнике с током элементарный отрезок $dl$.
  2. Записать для исследуемой точки поля закон Био – Савара – Лапласа.
  3. Определить направление элементарного поля $\vec$ в избранной точке.
  4. Воспользоваться принципом суперпозиции для магнитных полей (учесть, что суммируются векторы).

Магнитное поле кругового тока в его центре

Рисунок 1. Магнитное поле кругового тока в его центре. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим круговой проводник, по которому течет постоянный ток $I$ (рис.1). Выделим на этом проводнике элемент $dl$, который можно считать прямолинейным. Если перейти к другому элементу этого же тока, затем к третьему и так далее, применить правило правого винта, то очевидно, что все магнитные поля, созданные этими элементами в центре, направлены вдоль одной прямой, перпендикуляру к плоскости кольца. Это означает, применяя принцип суперпозиции, мы векторное сложение заменим алгебраическим.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа для модуля вектора индукции поля, создаваемого элементом d$l_1$:

Из рис.1 мы видим:

  1. что расстояние от элементарного тока до центра витка равно его радиусу ($R$) и будет одинаковым для всех элементов на этом витке,
  2. элемент $dl$ (как и все остальные элементы) будут нормальны к радиус-вектору $\vec r$.

Учитывая сказанное выражение (5) представим в виде:

Обезличивая витки с током, положим далее $dl_1=dl$.

Поскольку наш ток является непрерывным, то для нахождения полного поля в его центре, мы проинтегрируем (6), имеем:

$L=2πR$ — длина окружности витка.

Индукция магнитного поля кругового тока на его оси

Найдем индукцию магнитного поля на оси кругового тока, если ток, текущий по нему равен $I$, радиус витка — $R$ (рис.2).

Рисунок 2. Индукция магнитного поля кругового тока на его оси. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Как основу для выполнения поставленной задачи возьмем закон Био-Савара-Лапласа (1), где из рис.2 мы видим, что:

$d\vec\times \vec=d\vec\times \vec+d\vec\times \vec(9).$

Используя принцип суперпозиции закон (1) для нашего тока и формулы (8-9) запишем:

В выражении (10) при записи интеграла, мы учли, что величина вектора $\vec$ не изменяется. Кроме этого вектор $\vec h$, определяющий положение точки, в которой мы ищем поле, не изменяется при движении по нашему контуру, поэтому:

$\oint\limits_L \times \vec> =(\oint\limits_L )\times\vec> =0\, \left( 11 \right),$

так как ( $\oint\limits_L )=0.>$

Вычислим интеграл: $\oint\limits_L \times \vec.>$ Введем единичный вектор ($\vec n$), нормальный к плоскости витка с током.

$\oint\limits_L \times \vec=\oint\limits_L <\vecRdl=\vecR>> \oint\limits_L R> 2\pi R=2\pi R^<2>\vec\left( 12 \right)$.

Подставляем результаты интегрирования из (12) в (10), имеем:

где при записи окончательного результата мы учли, что:

Кольца Гельмгольца

Кольцами Гельмгольца считают пару проводников в виде колец одного радиуса, расположенных в параллельных плоскостях (рис.3) на одной оси. Расстояние между плоскостями колец равно их радиусу.

Рисунок 3. Кольца Гельмгольца. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим магнитное поле на оси этих колец.

Декартову систему координат разместим так, что ее начало совпадает с центром нижнего кольца с током. Ось Z нашей системы будет направлена по оси колец (рис.3).

Запишем индукцию магнитного поля в точке с координатой $z$ на оси колец. Используем формулу (13):

Исследуем полученное поле. Считается, что магнитное поле на оси колец Гельмгольца на посередине между ними является однородным.

Неоднородность в первом приближении характеризуют первой производной:

Если $z=\frac<2>\quad$ , подставим в (15), имеем:

По условию для колец Гельмгольца, имеем: $d=R.$

На середине их общей оси ($z=\frac<2>)$, получаем:

Равенство нулю второй производной от $B_z$ по координате $z$, показывает, что в на середине оси колец магнитное поле является однородным с высокой степенью точности.

Источник

ElectronicsBlog

Обучающие статьи по электронике

Магнитная индукция в вакууме

Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассказал о магнитном поле и немного остановился на его параметрах. Данная статья продолжает тему магнитного поля и посвящена такому параметру как магнитная индукция. Для упрощения темы я буду рассказывать о магнитном поле в вакууме, так как различные вещества имеют разные магнитные свойства, и как следствие необходимо учитывать их свойства.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Закон Био – Савара – Лапласа

В результате исследования магнитных полей создаваемых электрическим током, исследователи пришли к таким выводам:

  • магнитная индукция, создаваемая электрическим током пропорциональна силе тока;
  • магнитная индукция имеет зависимость от формы и размеров проводника, по которому протекает электрический ток;
  • магнитная индукция в любой точке магнитного поля зависит от расположения данной точки по отношению к проводнику с током.

Французские учёные Био и Савар, которые пришли к таким выводам обратились к великому математику П. Лапласу для обобщения и вывода основного закона магнитной индукции. Он высказал гипотезу, что индукция в любой точке магнитного поля, создаваемое проводником с током можно представить в виде суммы магнитных индукций элементарных магнитных полей, которые создаются элементарным участком проводника с током. Данная гипотеза и стала законом магнитной индукции, называемого законом Био – Савара – Лапласа. Для рассмотрения данного закона изобразим проводник с током и создаваемую им магнитную индукцию

Магнитная индукция элементарног проводника с током

Магнитная индукция dB, создаваемая элементарным участком проводника dl.

Тогда магнитная индукция dB элементарного магнитного поля, которое создается участком проводника dl, с током I в произвольной точке Р будет определяться следующим выражением

где I – сила тока, протекающая по проводнику,

r – радиус-вектор, проведённый от элемента проводника к точке магнитного поля,

dl – минимальный элемент проводника, который создает индукцию dB,

k – коэффициент пропорциональности, зависящий от системы отсчёта, в СИ k = μ/(4π)

Так как [dl r] является векторным произведением, тогда итоговое выражение для элементарной магнитной индукции будет выглядеть следующим образом

Таким образом, данное выражение позволяет найти магнитную индукцию магнитного поля, которое создается проводником с током произвольной формы и размеров при помощи интегрирования правой части выражения

где символ l обозначает, что интегрирование происходит по всей длине проводника.

Магнитная индукция прямолинейного проводника

Как известно простейшее магнитное поле создает прямолинейный проводник, по которому протекает электрический ток. Как я уже говорил в предыдущей статье, силовые линии данного магнитного поля представляют собой концентрические окружности расположенные вокруг проводника.

Магнитная индукция магнитного поля создаваемого прямолинейным проводником с током

Магнитная индукция магнитного поля создаваемого прямолинейным проводником с током.

Для определения магнитной индукции В прямого провода в точке Р введем некоторые обозначения. Так как точка Р находится на расстоянии b от провода, то расстояние от любой точки провода до точки Р определяется как r = b/sinα. Тогда наименьшую длину проводника dl можно вычислить из следующего выражения

В итоге закон Био – Савара – Лапласа для прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра провода до точки, в которой рассчитывается магнитная индукция.

Теперь просто проинтегрируем получившееся выражение по в пределах от 0 до π.

Таким образом, итоговое выражение для магнитной индукции прямолинейного провода бесконечной длины будет иметь вид

где μ – магнитная постоянная, μ = 4π•10 -7 Гн/м,

I – ток, протекающий по проводу,

b – расстояние от центра проводника до точки, в которой измеряется индукция.

Магнитная индукция кольца

Индукция прямого провода имеет небольшое значение и уменьшается при удалении от проводника, поэтому в практических устройствах практически не применяется. Наиболее широко используются магнитные поля созданные проводом, намотанным на какой либо каркас. Поэтому такие поля называются магнитными полями кругового тока. Простейшим таким магнитным поле обладает электрический ток, протекающий по проводнику, который имеет форму окружности радиуса R.

В данном случае практический интерес представляет два случая: магнитное поле в центре окружности и магнитное поле в точке Р, которое лежит на оси окружности. Рассмотрим первый случай.

Магнитная индукция в центре кругового тока

Магнитная индукция в центре кругового тока.

В данном случае каждый элемент тока dl создаёт в центре окружности элементарную магнитную индукцию dB, которая перпендикулярна к плоскости контура, тогда закон Био-Савара-Лапласа будет иметь вид

Остается только проинтегрировать полученное выражение по всей длине окружности

где μ – магнитная постоянная, μ = 4π•10 -7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник.

Рассмотрим второй случай, когда точка, в которой вычисляется магнитная индукция, лежит на прямой х, которая перпендикулярна плоскости ограниченной круговым током.

Магнитная индукция в точке, лежащей на оси окружности

Магнитная индукция в точке, лежащей на оси окружности.

В данном случае индукция в точке Р будет представлять собой сумму элементарных индукций dBX, которые в свою очередь представляет собой проекцию на ось х элементарной индукции dB

Применив закон Био-Савара-Лапласа вычислим величину магнитной индукции

Теперь проинтегрируем данное выражение по всей длине окружности

где μ – магнитная постоянная, μ = 4π•10 -7 Гн/м,

I – сила тока в проводнике,

R – радиус окружности, в которое свернут проводник,

х – расстояние от точки, в которой вычисляется магнитная индукция, до центра окружности.

Как видно из формулы при х = 0, получившееся выражение переходит в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока.

Циркуляция вектора магнитной индукции

Для расчёта магнитной индукции простых магнитных полей достаточно закона Био-Савара-Лапласа. Однако при более сложных магнитных полях, например, магнитное поле соленоида или тороида, количество расчётов и громоздкость формул значительно увеличится. Для упрощения расчётов вводится понятие циркуляции вектора магнитной индукции.

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному контуру

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному контуру.

Представим некоторый контур l, который перпендикулярный току I. В любой точке Р данного контура, магнитная индукция В направлена по касательной к данному контуру. Тогда произведение векторов dl и В описывается следующим выражением

Так как угол достаточно мал, то векторов dlВ определяется, как длина дуги

Таким образом, зная магнитную индукцию прямолинейного проводника в данной точке, можно вывести выражение для циркуляции вектора магнитной индукции

Теперь остаётся проинтегрировать получившееся выражение по всей длине контура

В нашем случае вектор магнитной индукции циркулирует вокруг одного тока, в случае же нескольких токов выражение циркуляции магнитной индукции переходит в закон полного тока, который гласит:

Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, которые охватывает данный контур.

Магнитное поле соленоида и тороида

С помощью закона полного тока и циркуляции вектора магнитной индукции достаточно легко определить магнитную индукцию таких сложных магнитных полей как у соленоида и тороида.

Соленоидом называется цилиндрическая катушка, которая состоит из множества витков проводника, намотанных виток к витку на цилиндрический каркас. Магнитное поле соленоида фактически состоит из множества магнитных полей кругового тока с общей осью, перпендикулярной к плоскости каждого кругового тока.

Магнитная индукция соленоида

Магнитная индукция соленоида.

Воспользуемся циркуляцией вектора магнитной индукции и представим циркуляцию по прямоугольному контуру 1-2-3-4. Тогда циркуляция вектора магнитной индукции для данного контура будет иметь вид

Так как на участках 2-3 и 4-1 вектор магнитной индукции перпендикулярен к контуру, то циркуляция равна нулю. На участке 3-4, который значительно удалён от соленоида, то его так же можно не учитывать. Тогда с учётом закона полного тока магнитная индукция в соленоиде достаточно большой длины будет иметь вид

где n – число витков проводника соленоида, которое приходится на единицу длины,

I – ток, протекающий по соленоиду.

Тороид образуется путём намотки проводника на кольцевой каркас. Данная конструкция эквивалентна системе из множества одинаковых круговых токов, центры которых расположены на окружности.

Магнитная индукция тороида

Магнитная индукция тороида.

В качестве примера рассмотрим тороид радиуса R, на который намотано N витков провода. Вокруг каждого витка провода возьмём контур радиуса r, центр данного контура совпадает в центром тороида. Так как вектор магнитной индукции B направлен по касательной к контуру в каждой точке контура, то циркуляция вектора магнитной индукции будет иметь вид

где r – радиус контура магнитной индукции.

Контур проходя внутри тороида охватывает N витков провода с током I, тогда закон полного тока для тороида будет иметь вид

где n – число витков проводника, которое приходится на единицу длины,

r – радиус контура магнитной индукции,

R – радиус тороида.

Таким образом, используя закон полного тока и циркуляцию вектора магнитной индукции можно рассчитать сколь угодно сложное магнитное поле. Однако закон полного тока дает правильные результаты только лишь в вакууме. В случае расчёта магнитной индукции в веществе необходимо учитывать так называемые молекулярные токи. Об этом пойдёт речь в следующей статье.

Теория это хорошо, но без практического применения это просто слова.Здесь можно всё сделать своими руками.

Источник



Определить магнитную индукцию в центре кольцевого проводника с током

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции :

Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Расчеты магнитного поля часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае можно пользаоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции , которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δ этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δ, взятую по всему контуру :

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.

В качестве примера на рис. 1.17.2 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи 2 и 3 пронизывают контур в противоположных направлениях, им должны быть приписаны разные знаки – положительными считаются токи, которые связаны с выбранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Следовательно, , а . Ток 1 не пронизывает контур .

Теорема о циркуляции в данном примере выражается соотношением:

Теорема о циркуляции в общем виде следует из закона Био–Савара и принципа суперпозиции.

Простейшим примером применения теоремы о циркуляции является вывод формулы для магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током. Учитывая симметрию в данной задаче, контур целесообразно выбрать в виде окружности некоторого радиуса , лежащей в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности находится в некоторой точке проводника. В силу симметрии вектор направлен по касательной , а его модуль одинаков во всех точках окружности. Применение теоремы о циркуляции приводит к соотношению:

откуда следует формула для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенная ранее.

Этот пример показывает, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, когда из соображений симметрии можно «угадать» общую структуру поля.

Имеется немало практически важных примеров расчета магнитных полей с помощью теоремы о циркуляции. Одним из таких примеров является задача вычисления поля тороидальной катушки (рис. 1.17.3).

В это выражение не входит радиус тора, поэтому оно справедливо и в предельном случае . Но в пределе каждую часть тороидальной катушки можно рассматривать как длинную прямолинейную катушку. Такие катушки называют соленоидами . Вдали от торцов соленоида модуль магнитной индукции выражается тем же соотношением, что и в случае тороидальной катушки.

На рис. 1.17.4 изображено магнитное поле катушки конечной длины. Следует обратить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. На это указывает густота линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри него.

В случае бесконечно длинного соленоида выражение для модуля магнитной индукции можно получить непосредственно с помощью теоремы о циркуляции, применив ее к прямоугольному контуру, показанному на рис. 1.17.5.

Это выражение совпадает с полученной ранее формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.

Источник