Меню

Найти токи в цепи позволяет система уравнений

ElectronicsBlog

Обучающие статьи по электронике

Электротехника Часть 5 Методы расчёта электрических цепей

Всем доброго времени суток. В прошлой статье я рассматривал типы соединений приемников энергии в электрических цепях, а так же законы Кирхгофа, которые определяют основные соотношения токов и напряжений в этих цепях. Но кроме знания основных законов электротехники необходимо уметь рассчитывать неизвестные параметры электрических цепей по заданным известным параметрам. Так, например, по известным напряжениям, ЭДС и сопротивлениям необходимо знать какую мощность будет потреблять тот или иной приемник энергии, а так же вся цепь в целом. Этим мы и займёмся в данной статье.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Расчёт электрических цепей с помощью законов Кирхгофа

Существует несколько методов расчёта электрических цепей, которые различаются между собой параметрами, которые необходимо найти, а так же количеством необходимых расчётов.

Вначале я расскажу, как произвести расчёт цепи в общем виде, но в результате размеры вычислений будут неоправданно большими. Данный метод расчёта основан на законах Ома и Кирхгофа и используется при расчётах небольших цепей с малым количеством контуров. Для этого составляют систему уравнений из (q — 1) уравнений для узлов цепи и n уравнений для независимых контуров. Независимые контуры характеризуются тем, что при составлении уравнений для каждого нового контура входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущий контур. Таким образом, количество уравнений в системе уравнений по данному методу расчёта цепи будет определяться следующим выражением

В качестве примера рассчитаем электрическую цепь, приведённую на рисунке ниже

Схема для расчёта по законам Кирхгофа

Пример электрической цепи для расчёта по законам Ома и Кирхгофа.

В качестве примера возьмём следующие параметры схемы: E1 = 50 B, E2 = 30 B, R1 = R3 = 10 Ом, R2 = R5 = 20 Ом, R4 = 25 Ом.

    Составим уравнение по первому закону Кирхгофа. Так как узла у нас два, то выберем узел А и составим для него уравнение. Я выбрал условно, что токи I1 и I2 втекают в узел, а I3 – вытекает, тогда уравнение будет иметь вид

Составим недостающие уравнения по второму закону Кирхгофа. В схеме у нас два независимых контура: E1R1R2R4E2R3 и E2R4R5, поэтому выбирая произвольное направление контуров составим недостающие два уравнения. Я выбрал обход по ходу часовой стрелке, поэтому уравнения имеют вид

Таким образом, получившаяся система уравнений будет иметь следующий вид

Решив данную систему, получим следующие результаты: I1 ≈ 0,564 А, I2 ≈ 0,103 А, I2 ≈ 0,667 А.

В результате решения системы уравнений по данному методу может оказаться, что токи получились отрицательными. Это значит, что действительное направление токов противоположно по направлению выбранному.

Метод контурных токов

Рассмотренный выше метод расчета электрических цепей при анализе больших и разветвленных цепей приводит к неоправданно трудоемким расчетам, поэтому редко применяется. Более широко используется метод контурных токов, позволяющий значительно сократить количество уравнений. При этом вместо токов в ветвях электрической цепи определяются так называемые контурные токи при помощи второго закона Кирхгофа. Таким образом, количество требуемых уравнений будет равняться числу независимых контуров. В качестве примера рассчитаем цепь изображённую на рисунке ниже

Метод контурных токов

Расчет цепи методом контурных токов.

Если бы мы вели расчёт цепи по методу законов Ома и Кирхгофа, то необходимо было бы решить систему из пяти уравнений. Для расчёта по методу контурных токов необходимо всего три уравнения.

В начале расчёта выделяют независимые контуры, в нашем случае это: E1R1R2E2, E2R2R4E3R3 и E3R4R5. Затем контурам присваивают произвольно направленный контурный ток, который имеет одинаковое направление для всех участков выбранного контура, в нашем случае для первого контура контурный ток будет Ia, для второго – Ib, для третьего – Ic. Как видно из рисунка некоторые контурные токи соответствуют токам в ветвях

Остальные же токи можно найти как разность двух контурных токов

Читайте также:  Выпрямитель тока для усилителя

В результате выбора контурных токов можно составить систему уравнений по второму закону Кирхгофа

Рассчитаем схему, изображённую на рисунке выше со следующими параметрами E1 = E3 = 100 B, E2 = 50 B, R1 = R2 = 10 Ом, R3 = R4 = R5 = 20 Ом. Запишем систему уравнений

В результате решения системы получим Ia = I1 = 4,286 А, Ib = I3 = 3,571 А, Ic = I5 = -0,714 А, I2 = -0,715 А, I4 = 4,285 А. Так же как и в предыдущем случае если токи получаются отрицательными, значит действительное направление противоположно принятому. Таким образом, токи I2 и I5 имеют направление противоположное изображённым на рисунке.

Метод узловых напряжений

Кроме метода контурных токов, для уменьшения трудоемкости расчётов, применяют метод узловых напряжений, при этом возможно еще меньшее число уравнений, так как при этом методе их число достигает

где q – количество узлов в электрической цепи.

Принцип расчёта электрической цепи заключается в следующем:

  1. Принимаем один из узлов цепи за базисный и присваиваем ему потенциал равный нулю;
  2. Для оставшихся узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, заменяя токи в ветвях по закону Ома через напряжение и сопротивление;
  3. После решения получившейся системы уравнений вычисляем токи в ветвях по обобщенному закону Ома.

В качестве примера возьмём предыдущую цепь и составим систему уравнений

Метод узловых потенциалов

Схема для решения уравнений методом узловых потенциалов.

В качестве базисного возьмём узел А и заземлим его, для остальных узлов B и D составим уравнения по первому закону Кирхгофа

Примем потенциалы узлов В = U1 и D = U2, тогда токи в ветвях выразятся через обобщённый закон Ома

В результате получившаяся система будет иметь следующий вид

Рассчитаем схему, изображённую на рисунке выше со следующими параметрами E1 = E3 = 100 B, E2 = 50 B, R1 = R2 = 10 Ом, R3 = R4 = R5 = 20 Ом. Запишем систему уравнений

В результате решения системы уравнений мы пришли к следующим результатам: потенциал в узле В – U1 = -57,14 В, а в узле D – U2 = 14,29 В. Теперь нетрудно посчитать, что токи в ветвях будут равны

Результат решения для токов I2 и I5 получился отрицательным, так как действительное направление токов противоположно направлению, изображённому на рисунке. Данные результаты совпадают с результатами, полученными для этой же схемы при расчёте по методу контурных токов.

Теория это хорошо, но без практического применения это просто слова.Здесь можно всё сделать своими руками.

Источник

Составление системы уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа. Нахождение токов, используя метод контурных токов

Страницы работы

Содержание работы

Контрольная работа №1.

Дана схема электрической цепи

Везде в контрольной работе единицы измерения ЭДС и напряжения – В, сопротивления – Ом, проводимости – См, сопротивление вольтметра принимается равным бесконечности. Расчеты производятся в математическом пакете MathCad.

1) Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа.

Произвольно покажем направления токов во всех ветвях:

Составим 3 уравнения по 1 закону Кирхгофа (всего n=4 узла)

Всего ветвей: m=6, значит составим m-(n-1)=3 недостающих уравнения по 2 закону Кирхгофа. Обход контуров выберем по часовой стрелке.

С помощью (1) и (2) можно найти решения для всех токов цепи.

2) Найти все токи, пользуясь методом контурных токов.

Направление обхода контурных токов внутри существующих ячеек обозначено на рис.1.

Для каждого контура-ячейки составим уравнение по второму закону Кирхгофа

(Iк – контурные токи)

Решая данную систему, находим контурные токи:

Токи во внутренних ветвях схемы определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. Токи во внешних ветвях схемы равны контурным.

По знаку видно, что I6 должен быть направлен в другую сторону (в дальнейших расчетах I6>0)

3) Предварительно упростив схему, заменив треугольник сопротивлений R4, R5, R6 эквивалентной схемой, начертить расчетную схему с эквивалентной звездой и показать на ней токи. Проверить правильность решения предыдущего пункта, применив метод узлового напряжения.

Читайте также:  Чему равен ток холостого хода трансформатора при холостом ходе трансформатора

Полученная схема с токами после преобразований показана на рис.2.

Применим метод узлового напряжения между узлами а и b:

где G1, G2, G3 – сопротивления соответствующих ветвей:

Найдем токи в ветвях по закону Ома:

Полученные значения токов совпадают с токами, найденными в п.2.

4) Определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора.

Определим напряжение холостого хода Ucd на резисторе R6, для этого воспользуемся формулой узлового напряжения для узлов а и b:

Воспользуемся законом Ома для определения частных напряжений:

Определим эквивалентное сопротивление Rэк cd. Схема в этом случае принимает вид, показанный на рис.4а. Для нахождения общего сопротивления, преобразуем треугольники acb в звезду (рис 4б), тогда:

Общее эквивалентное сопротивление цепи:

Ток I6 в резисторе R6 находится по формуле эквивалентного генератора:

Как видим, данное значение тока совпадает со значением, найденным в п.2, что свидетельствует о правильности решения.

5) Определить показания вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы.

Показания вольтметра можно определить по закону Ома:

Уравнение баланса отражает равенство мощностей, отдаваемой источником (Ри) и расходуемой приемниками (Рп), т.е.

Ри= Рп, следовательно баланс мощностей соблюдается, задача решена верно.

6) Построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Потенциальной диаграммой называется график распределений потенциалов вдоль какого-либо контура. Потенциальную диаграмму строят как зависимость (потенциалов от сопротивления). Обозначения узлов см. на рис.5. За нулевой потенциал принимаем точку d. Найдем значения потенциалов других узлов (обход внешнего контура по часовой стрелке):

Учет знака выбирался из правил: ток течет от большего потенциала к меньшему, наращивание потенциала за счет ЭДС соответствует знаку источника, подключенного к измеряемой точке.

Построим потенциальную диаграмму:

Диаграмма начинается и заканчивается с потенциалом , потенциалы посчитаны правильно.

Дана электрическая схема.

Переведем исходные данные: 300мкФ=3·10 -4 Ф; 19.1мГн=1,91·10 -2 Гн; 15.9мГн=1,59·10 -2 Гн; 31.8мГн=3,18·10 -2 Гн

1) Определить токи во всех ветвях цепи и напряжения на отдельных участках. Определить показание вольтметра.

Определим комплексные сопротивления ветвей:

где — угловая частота

Полное комплексное сопротивление:

Начальная фаза ЭДС Е принимается равной нулю, поэтому комплексная составляющая равна нулю:

Ток в неразветвленной части цепи:

Токи в параллельных цепях находятся по соотношениям:

=1,93-1,66j=2,54e -40°38′ j А

=0,77+1,01j=1,27e 52°54′ j А

Напряжения на отдельных участках:

=111,72-9,65j=112,14e -4°56′ j В

=8,28+9,65j=12,71e 49°21′ j В

Вольтметр будет показывать действительную величину напряжения, которая находится по выражению:

2) Составить баланс активной и реактивной мощностей. Определить показание активной мощности, измеряемой ваттметром.

Полная мощность всей цепи:

=323,54-77,47j=332,69e -13°27′ j В·А

Действительная часть комплекса – активная мощность, мнимая часть – реактивная мощность.

Таким образом, ваттметр будет показывать мощность 323,5 Вт.

Найдем активные и реактивные мощности отдельных участков цепи.

Найденная сумма активных мощностей отдельных участков равна активной мощности всей цепи.

С учетом погрешности вычислений, можно сказать, что найденная сумма реактивных мощностей отдельных участков равна реактивной мощности всей цепи.

Таким образом, баланс потребляемой и отдаваемой мощностей соблюдается.

3) Построить в масштабе на комплексной плоскости векторную диаграмму токов и потенциальную диаграмму напряжений по внешнему контуру.

Векторная диаграмма токов – изображение векторов найденных токов, исходящих из одной точки. Сначала откладываем токи I2 и I3, их геометрическая сумма дает ток I1. (Токи строились в масштабе 10:1)

Потенциальная диаграмма напряжений – направленные отрезки, соединяющие точки, соответствующие потенциалам каждой точки контура. Обычно обход контура берется против направления тока (в нашем случае, против часовой стрелки) – контур abcdef.

Определим длину отрезков, необходимых отложить на диаграмме:

Отложение отрезков начинается из точки (0;0), Uab – падение напряжение на катушке, поэтому отрезок откладывается с опережением на 90° (перпендикулярно направлению I3 против часовой стрелки), затем от конца Uab откладывается отрезок Ubc (падение на конденсаторе) перпендикулярно I3 (против направления Uab). Ucd откладывается синфазно I3, Ude – синфазно I1, Uef – перпендикулярно I1. Точка конца диаграммы совпадает с отрезком общего напряжения Е, значит расчет произведен верно.

Читайте также:  Приемники электрической энергии переменного тока электрические цепи

Дана схема трехпроводной электрической цепи:

Источник

Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений

Если цепь содержит узлов, то она описывается уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и потока этих частиц.

Если цепь содержит ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве , то она описывается уравнениями напряжений.

· Правила Кирхгофа, записанные для узлов или контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и все напряжения.

· Перед тем, как составить уравнения, нужно произвольно выбрать:

· положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме, при этом не обязательно следить, чтобы в узле направления токов были и втекающими, и вытекающими, окончательное решение системы уравнений всё равно даст правильные знаки токов узла;

· положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону, с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми (напр.: по часовой стрелке).

· Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), падение напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.

· При записи линейно независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону (достаточное, но не необходимое условие).

· В сложных непланарных графах электрических цепей человеку трудно увидеть независимые контуры и узлы, каждый независимый контур (узел) при составлении системы уравнений порождает ещё 1 линейное уравнение в определяющей задачу системе линейных уравнений. Подсчёт количества независимых контуров и их явное указание в конкретном графе развит в теории графов.

Пример

На этом рисунке для каждой ветви обозначен протекающий по ней ток (буквой «I») и напряжение между соединяемыми ею узлами (буквой «U»)

Количество узлов: 3.

Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.

Количество контуров: 2.

Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:

Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом контурных токов.

В соответствии со вторым правилом, справедливы соотношения:

Полученные системы уравнений полностью описывают анализируемую цепь, и их решения определяют все токи и все напряжения ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом узловых потенциалов.

Источник



Найти токи в цепи позволяет система уравнений

Найти токи в цепи позволяет система уравнений…
Изображение вопроса Найти токи в цепи позволяет система уравнений&#823.

Варианты ответов

Изображение 1 ответ на вопрос Найти токи в цепи позволяет система уравнений&#823.

Изображение 3 ответ на вопрос Найти токи в цепи позволяет система уравнений&#823.

Изображение 0 ответ на вопрос Найти токи в цепи позволяет система уравнений&#823.

Изображение 2 ответ на вопрос Найти токи в цепи позволяет система уравнений&#823.

Правильный ответ

Для получения ответов, необходимо зарегистрироваться

С помощью баланса мобильного

Введите свой номер телефона в формате 71234567890:

Стоимость регистрации 50 рублей с НДС.
Внимание! Перед тем как оплатить, проверьте свой баланс! По правилам операторов, у вас на балансе должно быть не менее:
МТС: 65 рублей
Теле2: 75 рублей
Мегафон: 85 рублей
Билайн: 105 рублей

К оплате принимаются абоненты операторов РФ:

Комиссия – 0%

Банковские карты (VISA, MasterCard), Яндекс, Qiwi и другие

Внимание! При оплате данным способом, может взиматься небольшая дополнительная комиссия

Возникли проблемы?
Напишите нам в поддержку: support@i-exam.net

С помощью SMS

Для регистрации отправьте смс с текстом:
93279327
на короткий номер:
6365
В ответ вы получите SMS с паролем доступа

Источник