Меню

Мгновенные значения токов i в симметричной системе

Трёхфазная симметричная система ЭДС.

date image2015-10-22
views image13352

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Лекция.

Трехфазные цепи. Трехфазная симметричная система ЭДС. Принцип работы синхронного генератора. Симметричный режим работы трехфазной цепи звезда — звезда. Симметричный режим работы трехфазной цепи звезда – треугольник. Векторные диаграммы. Назначение нулевого провода.

Термины и определения основных понятий

Многофазная система электрических цепей — совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные электродвижущие силы одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе, создаваемые общим источником электрической энергии.

Фаза (многофазной системы электрических цепей) — часть многофазной системы электрических цепей, в которой может протекать один из электрических токов многофазной системы электрических токов.

Многофазная электрическая цепь — многофазная система электрических цепей, в которой отдельные фазы электрически соеди­нены друг с другом.

Теоретический материал

Трёхфазная симметричная система ЭДС.

В большинстве случаев в сетях электроснабжения используется переменный трёхфазный ток, так как с его помощью можно передавать электрическую энергию более экономично, чем при помощи однофазного.

Кроме того, с помощью трёхфазного тока можно получить круговое вращающееся электрическое поле, которое лежит в основе трёхфазных электрических машин.

Это совокупность трёх одинаковых по амплитуде и частоте ЭДС, сдвинутых по фазе на относительно друг друга (рис 10.1). В любой момент времени их сумма равна нулю

В комплексной форме записи.

Пусть в общем случае имеет ненулевую начальную фазу.

Обозначим – оператор трёхфазной системы, тогда:

Симметричную трехфазную систему ЭДС получают с помощью синхронных генераторов, в которых используется следующий способ получения ЭДС индукции:

В однородном магнитном поле с постоянной угловой скоростью вращается проволочная рамка (виток) (рис. 10.2), ось вращения которой перпендикулярна силовым линиям.

Пронизывающий рамку магнитный поток изменяется косинусоидально , а ЭДС, наводимая в рамке изменяется синусоидально:

Если в магнитном поле вращать три рамки сдвинутые на относительно друг друга (рис. 10.3), то и ЭДС наводимые в них также будут сдвинуты на .

В отличие от данной конструкции в синхронном генераторе вращаются не обмотки, а магнитное поле созданное постоянным магнитом (электромагнитом) ротора. Обмотка находится в пазах статора. Внутри пазы равномерно распределены по окружности статора. Магнитные оси отдельных катушек сдвинуты в пространстве на угол , где р – число пар полюсов

Обмотки соединяют в звезду или треугольник (рис. 10.4).

При включении обмоток генератора в треугольник ток в них в режиме холостого хода равен нулю, так как равна нулю сумма ЭДС.

Однако добиться идеальной симметрии ЭДС обмоток генератора трудно, поэтому чаще обмотки включают в звезду.

Совокупность трёхфазной симметричной системы ЭДС, трёхфазной нагрузки и соединительных проводов, называется трёхфазной цепью.

Симметричный режим работы трёхфазной цепи выполненной по схеме звезда – звезда с нулём.

Под фазой трёхфазной цепи понимают участок цепи, по которому течёт одинаковый ток. При этом разделяют понятия фаза генератора и фаза нагрузки.

Для обозначения величины применительно к генератору используют большие буквы , для нагрузки – маленькие (схема на рис. 10.5).

ОА – фаза А генератора

ОВ – фаза В генератора

ОС – фаза С генератора

а – фаза а нагрузки

в – фаза в нагрузки

с – фаза с нагрузки

Точка, в которой объединены концы трёх фаз нагрузки, называют нулевой точкой нагрузки.

Провод, соединяющий нулевые точки генератора и нагрузки, называют нулевым (нейтральным).

Провода, соединяющие генератор с нагрузкой, называются линейными.

Симметричный режим работы (симметричная трёхфазная цепь) будет в том случае, если при симметричном генераторе нагрузка во всех фазах одинакова(равномерная или симметричная нагрузка).

– фазные напряжения генератора

– фазные напряжения нагрузки

Так как в рассматриваемой схеме сопротивление линейных проводов (и нулевого) равно нулю, то

Напряжения между линейными проводами называется линейными напряжениями. Линейные напряжения образуют симметричную систему (рис. 10.6)

Линейное напряжение в раз больше фазного и опережает его на угол .

Токи, текущие по линейным проводам, называют линейными токами. Токи, текущие по фазам генератора, называют фазными токами. В схеме звезда – звезда линейные токи равны фазным. Они так же образуют симметричную систему.

Нулевой провод цепи звезда – звезда необходим для симметрирования фазных напряжений нагрузки независимо от величин самих нагрузок. Поскольку ток в нулевом проводе больше фазных (линейных) токов, то сам нулевой провод должен выполняться с большим сечением.

В симметричном режиме работы ток в нулевом проводе отсутствует, и этот провод может быть изъят из цепи без изменения режима её работы.

Эта схема эквивалентна первой (рис. 10.7)

Симметричный режим работы трёхфазной цепи, включённой по схеме звезда – треугольник (рис. 10.8)

Фазы напряжения нагрузки равны соответствующим линейным напряжениям.

Фазные токи нагрузки образуют симметричную систему (рис. 10.9).

Линейные токи больше фазных в раз и отстают от них на угол

Контрольные вопросы

1. Почему в большинстве случаев в цепях электроснабжения используется трехфазный ток?

2. Что такое трехфазная симметричная система Э.Д.С.?

3. С помощью чего получают симметричную трехфазную систему Э.Д.С.?

4. На какой угол сдвинуты магнитные оси обмоток находящихся в пазах статора синхронного генератора?

5. Какие схемы соединения генератора и нагрузки существуют?

6. Что понимают под фазой трехфазной цепи?

7. Что такое нулевая точка?

8. Как называются провода, соединяющие генератор с нагрузкой?

9. Какой режим работы трехфазных цепей называется симметричным?

10. Для чего необходим нулевой провод цепи звезда – звезда.

Упражнения и задачи

1. Что покажет вольтметр электродинамической системы, включенный в разрыв обмотки трехфазного генератора, соеди­ненного треугольником? В фазах генерируется симметричная система синусоидальных ЭДС.

2. Напряжение фазы А симметричной трехфазной системой ЭДС . Записать выражение для напряжений фаз В и С.

3. Ток фазы А симметричной системы ЭДС . Записать выражения для токов в фазах В и С.

4. Чему равно действующее значение тока в нулевом проводе при симметричной нагрузке?

Источник

Мгновенные значения токов i в симметричной системе

Метод симметричных составляющих относится к специальным методам расчета трехфазных цепей и широко применяется для анализа несимметричных режимов их работы, в том числе с нестатической нагрузкой. В основе метода лежит представление несимметричной трехфазной системы переменных (ЭДС, токов, напряжений и т.п.) в виде суммы трех симметричных систем, которые называют симметричными составляющими. Различают симметричные составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей, которые различаются порядком чередования фаз.

Симметричную систему прямой последовательности образуют (см. рис. 1,а) три одинаковых по модулю вектора и со сдвигом друг по отношению к другу на рад., причем отстает от , а — от .

Введя, оператор поворота , для симметричной системы прямой последовательности можно записать

Симметричная система обратной последовательности образована равными по модулю векторами и с относительным сдвигом по фазе на рад., причем теперь отстает от , а — от (см. рис. 1,б). Для этой системы имеем

Система нулевой последовательности состоит из трех векторов, одинаковых по модулю и фазе (см. рис. 1,в):

При сложении трех указанных систем векторов получается несимметричная система векторов (см. рис. 2).

Любая несимметричная система однозначно раскладывается на симметричные составляющие. Действительно,

; (1)
; (2)
. (3)

Таким образом, получена система из трех уравнений относительно трех неизвестных , которые, следовательно, определяются однозначно. Для нахождения сложим уравнения (1)…(3). Тогда, учитывая, что , получим

Для нахождения умножим (2) на , а (3) – на , после чего полученные выражения сложим с (1). В результате приходим к соотношению

Для определения с соотношением (1) складываем уравнения (2) и (3), предварительно умноженные соответственно на и . В результате имеем:

Читайте также:  Генераторы тока понижающие напряжения

Формулы (1)…(6) справедливы для любой системы векторов , в том числе и для симметричной. В последнем случае .

В заключение раздела отметим, что помимо вычисления симметричные составляющие могут быть измерены с помощью специальных фильтров симметричных составляющих, используемых в устройствах релейной защиты и автоматики.

Свойства симметричных составляющих токов
и напряжений различных последовательностей

Рассмотрим четырехпроводную систему на рис. 3. Для тока в нейтральном проводе имеем

Тогда с учетом (4)

т.е. ток в нейтральном проводе равен утроенному току нулевой последовательности.

Если нейтрального провода нет, то и соответственно нет составляющих тока нулевой последовательности.

Поскольку сумма линейных напряжений равна нулю, то в соответствии с (4) линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности.

Рассмотрим трехпроводную несимметричную систему на

Тогда, просуммировав эти соотношения, для симметричных составляющих нулевой последовательности фазных напряжений можно записать

Если система ЭДС генератора симметрична, то из последнего получаем

  • в фазных напряжениях симметричного приемника отсутствуют симметричные составляющие нулевой последовательности;
  • симметричные составляющие нулевой последовательности фазных напряжений несимметричного приемника определяются величиной напряжения смещения нейтрали;
  • фазные напряжения несимметричных приемников, соединенных звездой, при питании от одного источника различаются только за счет симметричных составляющих нулевой последовательности; симметричные составляющие прямой и обратной последовательностей у них одинаковы, поскольку однозначно связаны с соответствующими симметричными составляющими линейных напряжений.

При соединении нагрузки в треугольник фазные токи и могут содержать симметричные составляющие нулевой последовательности . При этом (см. рис. 5) циркулирует по контуру, образованному фазами нагрузки.

Сопротивления симметричной трехфазной цепи
для токов различных последовательностей

Если к симметричной цепи приложена симметричная система фазных напряжений прямой (обратной или нулевой) последовательностей, то в ней возникает симметричная система токов прямой (обратной или нулевой) последовательности. При использовании метода симметричных составляющих на практике симметричные составляющие напряжений связаны с симметричными составляющими токов той же последовательности. Отношение симметричных составляющих фазных напряжений прямой (обратной или нулевой) последовательности к соответствующим симметричным составляющим токов называется комплексным сопротивлением прямой

последовательностей.

Пусть имеем участок цепи на рис. 6. Для фазы А этого участка можно записать

Тогда для симметричных составляющих прямой и обратной последовательностей с учетом, того, что , на основании (9) имеем

Отсюда комплексные сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы и равны:

Для симметричных составляющих нулевой последовательности с учетом равенства соотношение (9) трансформируется в уравнение

откуда комплексное сопротивление нулевой последовательности

В рассмотренном примере получено равенство сопротивлений прямой и обратной последовательностей. В общем случае эти сопротивления могут отличаться друг от друга. Наиболее типичный пример – различие сопротивлений вращающейся машины для токов прямой и обратной последовательностей за счет многократной разницы в скольжении ротора относительно вращающегося магнитного поля для этих последовательностей.

Применение метода симметричных составляющих
для симметричных цепей

Расчет цепей методом симметричных составляющих основывается на принципе наложения, в виду чего метод применим только к линейным цепям. Согласно данному методу расчет осуществляется в отдельности для составляющих напряжений и токов различных последовательностей, причем в силу симметрии режимов работы цепи для них он проводится для одной фазы (фазы А). После этого в соответствии с (1)…(3) определяются реальные искомые величины. При расчете следует помнить, что, поскольку в симметричном режиме ток в нейтральном проводе равен нулю, сопротивление нейтрального провода никак ни влияет на симметричные составляющие токов прямой и обратной последовательностей. Наоборот, в схему замещения для нулевой последовательности на основании (7) вводится утроенное значение сопротивления в нейтральном проводе. С учетом вышесказанного исходной схеме на рис. 7,а соответствуют расчетные однофазные цепи для прямой и обратной последовательностей (рис. 7,б) и нулевой последовательности (рис. 7,в).

Существенно сложнее обстоит дело при несимметрии сопротивлений по фазам. Пусть в цепи на рис. 3 . Разложив токи на симметричные составляющие, для данной цепи можно записать

Подставив в (11) значения соответствующих параметров из (10) после группировки членов получим

Из полученных соотношений видно, что если к несимметричной цепи приложена несимметричная система напряжений, то каждая из симметричных составляющих токов зависит от симметричных составляющих напряжений всех последовательностей. Поэтому, если бы трехфазная цепь на всех участках была несимметрична, рассматриваемый метод расчета не давал бы преимуществ. На практике система в основном является симметричной, а несимметрия обычно носит локальный характер. Это обстоятельство, как будет показано в следующей лекции, значительно упрощает анализ.

На всех участках цепи, где сопротивления по фазам одинаковы, для i ¹ k. Тогда из (12) получаем

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. В каких случаях отсутствуют составляющие нулевой последовательности в линейных токах?
  2. Для каких цепей сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы, а для каких – различны?
  3. Для анализа каких цепей возможно применение метода симметричных составляющих?
  4. Как при использовании метода симметричных составляющих учитывается сопротивление в нейтральном проводе?
  5. В чем заключается упрощение расчета цепи при использовании метода симметричных составляющих?
  6. Определить коэффициент несимметрии линейных напряжений , если , .

  • До короткого замыкания в фазе А в цепи на рис. 4 был симметричный режим, при котором ток в фазе А был равен .
  • Разложить токи на симметричные составляющие.

    Линейные напряжения на зажимах двигателя и . Определить действующие значения токов в фазах двигателя, если его сопротивления прямой и обратной последовательностей соответственно равны: ; . Нейтральный провод отсутствует.

    Источник

    Токи в системе также симметричны

    iA = I sin(qj),

    iB = I sin(qj – 2p/3),

    iC = I sin(qj – 4p/3.

    Рис. 1.8

    Мгновенная мощность в каждой фазе определяется так же, как и в однофазных цепях (см. § 1.2)

    pA = uA · iA = 2UI · sinq · sin(qj) = UI [cosj – cos(2q – j)];

    pB = uA · iB = 2UI · sinq · sin(qj) = UI [cosj – cos(2q – 2p/3 – j)];

    pC = uC · iC = 2UI · sinq · sin(qj) = UI [cosj – cos(2q – 4p/3 – j)].

    Мгновенная мощность трехфазной сети равна сумме мгновенных мощностей фаз. В симметричной системе при суммировании переменная составляющая мгновенных мощностей взаимно уравновешивается и кривая мгновенной мощности не имеет пульсации:

    Активная мощность трехфазной системы равна сумме активных мощностей фаз или среднему значению мгновенной мощности p на периоде повторения:

    a реактивная мощность равна соответственно Q = QA + QB +QC = 3UI sinφ.

    Полная (кажущаяся) мощность трехфазной системы равна сумме произведений действующих значений напряжений на действующие значений токов в каждой фазе: S = SA + SB + SC = UA IA + UB IB + UC IC = 3UI.

    Коэффициент мощности в симметричной трехфазной системе равен c = P / S = cosj.

    1.5.Энергетические процессы в несимметричных

    Воспользуемся схемой рис. 1.8. Рассматриваем питание несимметричной трехфазной цепи нагрузки от симметричной системы трехфазных напряжений. Нагрузочные сопротивления фаз выразим через модули сопротивлений и фазовые углы каждой фазы:

    При этом система токов будет также несимметричной, причем токи могут иметь как амплитудную несимметрию, так и фазовую несимметрию. При несимметрии нагрузки трех- и четырехпроводная системы проявляют себя различным образом, отметим эти различия.

    1) В четырехпроводной системе процессы формирования тока в каждой фазе протекают независимо, uA = eA =Em sinq, uB = eB = Em sin(q – 2p/3), uC = =eC = Em sin(q – 4p/3. Действующие значения фазных напряжений на нагрузке UA = UB = UC = Е. Токи определяются

    2) В трехпроводной системе сумма фазных токов согласно закону Кирхгофа должна быть равна нулю. Это достигается за счет появления ненулевого потенциала средней точки нагрузки относительно средней точки источника u, вектор указанного напряжения обозначим U . Тогда процессы описываются системой уравнений:

    Из системы уравнений определяем

    и находим действующие значения фазных напряжений на нагрузке

    В любой трехфазной схеме мгновенная мощность в каждой фазе определяется так же, как и в однофазных цепях: pA = eA iA ; pB = eA iB ; pC = eC iC . Мгновенная мощность трехфазной сети равна сумме мгновенных мощностей фаз: p = pA + pB + pC.

    Рассмотрим пример. Трехфазная нагрузка (ZA = 10+j·5 Ом; ZB = 10 – – j·5 Ом; ZC = 12 Ом) питается от симметричной трехфазной сети с нулевым проводом с фазным напряжением 220 В. На рис. 1.9 представлены фазные напряжения на нагрузке uA, uB, uC; фазные токи iA, iB, iC; кривые мгновенных мощностей фаз pA, pB, pC, а также – мгновенная мощность трехфазной системы p.

    Кривая мгновенной мощности p несимметричной трехфазной цепи помимо постоянной составляющей P содержит пульсации с удвоенной частотой сети. Как и в симметричной системе, активная мощность системы равна сумме активных мощностей фаз или среднему значению мгновенной мощности системы на периоде повторения:

    a реактивная мощность равна сумме реактивных мощностей фаз (с учетом знака реактивной мощности): Q = QA + QB +QC.

    Полная (кажущаяся) мощность трехфазной системы равна сумме полных мощностей фаз: S = SA + SB + SC . Коэффициент мощности равен c = =P / S.

    Составляющие полной мощности S в рассматриваемом примере приведены в таблице.

    Фаза А Фаза В Фаза С Трехфазная цепь
    Активная мощность, кВт 3,9 3,9 11,8
    Реактивная мощность, кВА 1,9 -1,9
    Полная мощность, кВА 4,33 4,33 12,6
    Мощность несимметрии, кВА 4,7

    Коэффициент мощности χ = P/S = 0,93. Нетрудно убедиться, что в несимметричной трехфазной цепи P 2 + Q 2 ≤ S 2 .

    Это означает, что существует еще одна составляющая полной мощности – мощность несимметрии N. Три вектора составляющих полной мощности P, Q и N образуют трехмерную сумму векторов, показанную на рис. 1.10. Мощность несимметрии определяется по формуле

    Какова же физическая природа мощности несимметрии?

    В рассматриваемом примере реактивная мощность фазы B полностью компенсирует реактивную мощность фазы A и реактивная мощность из сети не потребляется, происходит только взаимообмен реактивной мощностью между фазами A и B. Но реактивные составляющие токов в фазах A и B присутствуют, они увеличивают полную мощность данных фаз и полную мощность трехфазной цепи. Этот процесс внутренней циркуляции реактивных токов в трехфазной нагрузке и отражает мощность несимметрии.

    1.6. Анализ энергетических процессов

    методом симметричных составляющих

    Для анализа процессов в трехфазных цепях широко используется метод симметричных составляющих. Суть метода заключается в том, что любая несимметричная система трех векторов может быть заменена суперпозицией трех симметричных систем сигналов — составляющих прямой, обратной и нулевой последовательности.

    Маркируя векторы прямой последовательности I1, обратной последовательности I2, а нулевой последовательности I, можно представить несимметричную систему токов IA, IB , IC в виде:

    где — вектор поворота. При умножении векторной величины на а полученныйв результатевектор опережает исходный на 120 о (или отстает на 240 о ), при умножении вектора на а 2 результирующий вектор опережает исходный на 240 о (или отстает на 120 о ).

    При использовании метода симметричных составляющих при известных векторах IA, IB, IC из приведенной выше системы уравнений можно найти векторы I1, I2 и I. А именно

    Отметим, что в трехпроводной системе отсутствует нулевая последовательность токов, так как сумма фазных токов равна нулю.

    Сосредоточим внимание на энергетических процессах. Используя метод симметричных составляющих, мы будем пользоваться временными зависимостями переменных величин. В трехфазной системе напряжения образуют симметричную систему:

    eC = Em sin(q – 4p/3.

    Токи несимметричны, и их можно представить в виде суммы токов прямой, обратной и нулевой последовательностей:

    iA = I1msin(q – j1)+I2msin(q – j2)+I0msin(q – j0);

    iB = I1msin(q – j1 2p/3)+ I2msin(q – j2 4p/3)+Imsin(q – j0);

    iC = I1msin(q – j1 4p/3)+ I2msin(q – j2 2p/3)+Imsin(q – j0).

    Источник

    

    Мгновенные значения токов i в симметричной системе

    Трехфазные цепи являются частным случаем многофазных систем , под которыми понимают совокупность нескольких нагрузок и источников питания, имеющих одинаковую частоту и смещенных по фазе на некоторый угол друг относительно друга . Каждая пара источник-нагрузка может рассматриваться как отдельная цепь и называется фазой системы .

    Если отдельные фазы системы не соединены между собой электрически (рис. 1 а)), то такую систему называют несвязанной . Несвязанная система не обладает никакими особыми свойствами, и если между фазами отсутствует и магнитная связь, то такая совокупность цепей вообще не может рассматриваться как многофазная.

    Соединение фаз системы между собой (рис. 1б)) придает ей особые качества, благодаря которым многофазные системы ( в особенности трехфазные) получили исключительное распространение в области передачи и преобразования электрической энергии. Одним из очевидных преимуществ связанной системы (рис. 1) является сокращение с шести до четырех числа проводников, соединяющих источники с нагрузкой. При благоприятных обстоятельствах это число может быть уменьшено до трех. В дальнейшем мы отметим целый ряд других преимуществ, которым обладают связанные системы.

    Любая многофазная система может быть симметричной и несимметричной. Симметрия системы определяется симметрией ЭДС, напряжений и токов. Под симметричной многофазной системой ЭДС, напряжений или токов понимают совокупность соответствующих величин, имеющих одинаковые амплитуды и смещенных по фазе на угол 2 p /m по отношению друг к другу, где m — число фаз системы . Если для обозначения фаз трехфазной системы использовать первые буквы латинского алфавита, то симметричную систему ЭДС можно записать в виде

    Аналогичные выражения можно написать и для токов и падений напряжения в симметричной трехфазной системе.

    Основное свойство симметричных многофазных систем заключается в том, что сумма мгновенных значений величин образующих систему в каждый момент времени равна нулю . Для изображений величин образующих систему это свойство означает равенство нулю суммы фазных векторов . В справедливости этого утверждения легко убедиться на примере трехфазной системы, если в области изображений сложить числа в скобках в правой части выражений (1).

    Многофазная система симметрична только тогда, когда в ней симметричны ЭДС, токи и напряжения. Если принять равными нулю внутренние сопротивления источников питания или включить их значения в сопротивления нагрузки, то условие симметрии системы сводится к симметрии ЭДС и равенству комплексных сопротивлений нагрузки. Это условие для трехфазной системы записывается в виде

    Z a = Z b = Z c .

    В дальнейшем мы будем считать, что источники питания являются источниками ЭДС и использовать условия симметрии системы в виде выражений (1) и (2).

    В многофазные системы объединяют источники ЭДС и нагрузки. Для обеспечения правильного соотношения сдвига фаз при соединения или связывании системы в общем случае необходимо определить выводы элементов, по отношению к которым выполняются условия (1). Они называются начало и конец фазы источника или нагрузки. Для источников многофазной системы принято за положительное направление действия ЭДС от начала к концу.

    На электрических схемах, если это необходимо, начало и конец обозначают буквами латинского алфавита. На рис. 1 а) начала элементов соответствуют индексам XYZ , а концы — ABC . В дальнейшем мы будем использовать строчные буквы для нагрузки, а прописные для источников ЭДС.

    Существуют два способа связывания элементов в многофазную систему — соединение звездой и соединение многоугольником. Звезда это такое соединение, в котором начала всех элементов объединены в один узел, называемый нейтральной точкой . Подключение к системе при этом осуществляется концами элементов (рис. 2 а)). Многоугольник это соединение, в котором все элементы объединены в замкнутый контур так, что у соседних элементов соединены между собой начало и конец . С системой многоугольник соединяется в точках соединения элементов. Частным случаем многоугольника является треугольник рис. 2 б).

    Источники питания и нагрузки в многофазных системах в общем случае могут быть связаны разными способами.

    При анализе многофазных систем вводится ряд понятий, необходимых для описания процессов. Проводники, соединяющие между собой источники и нагрузку, называются линейными проводами , а проводник соединяющий нейтральные точки источников и нагрузки — нейтральным проводом .

    Электродвижущие силы источников многофазной системы ( e A , E A , E A , e B , E B , E B , e C , E C , E C ), напряжения на их выводах ( u A , U A , U A , u B , U B , U B , u C , U C , U C ) и протекающие по ним токи ( i A , I A , I A , i B , I B , I B , i C , I C , I C ) называются фазными . Напряжения между линейными проводами ( U AB , U AB , U BC , U AC , U CA , U CA ) называются линейными .

    Связь линейных напряжений с фазными можно установить через разность потенциалов линейных проводов рис. 1 б) как u AB = u AN + u NB = u AN — u BN = u A — u B или в символической форме

    U AB = U A — U B ; U BC = U B — U C ;

    U CA = U C — U A .

    Построим векторную диаграмму для симметричной трехфазной системы фазных и линейных напряжений (рис. 3). В теории трехфазных цепей принято направлять вещественную ось координатной системы вертикально вверх.

    Каждый из векторов линейных напряжений представляет собой сумму одинаковых по модулю векторов фазных напряжений ( U ф = U A = U B = U C ), смещенных на угол 60 ° . Поэтому линейные напряжения также образуют симметричную систему и модули их векторов ( U л = U AB = U BC = U CA ) можно определить как .

    Выражения (3) справедливы как для симметричной системы, так и для несимметричной. Из них следует, что векторы линейных напряжений соединяют между собой концы фазных (вектор U CA рис. 3). Следовательно, при любых фазных напряжениях они образуют замкнутый треугольник и их сумма всегда равна нулю . Это легко подтвердить аналитически сложением выражений (3) — U AB + U BC + U CA = U A — U B + U B — U C + U C — U A = 0.

    Тот факт, что геометрически векторы линейных напряжений соединяют концы векторов фазных, позволяет сделать заключение о том, что любой произвольной системе линейных напряжений соответствует бесчисленное множество фазных . Это подтверждается тем, что для создания фазной системы векторов при заданной линейной, достаточно произвольно указать на комплексной плоскости нейтральную точку и из нее провести фазные векторы в точки соединения многоугольника линейных векторов.

    Из уравнений Кирхгофа для узлов a , b и c нагрузки соединенной треугольником ( рис. 2 б) ) можно представить комплексные линейные токи через фазные в виде

    I A = I ab — I ca ; I B = I bc — I ab ; I C = I ca — I bc .

    В случае симметрии токов I A = I B = I C = I л и I ab = I bc = I ca = I ф , поэтому для них будет справедливо такое же соотношение, как для линейных и фазных напряжений в симметричной системе при соединении звездой, т.е . Кроме того, их сумма в каждый момент времени будет равна нулю, что непосредственно следует из суммирования выражений (4).

    Перейдем теперь к рассмотрению конкретных соединений трехфазных цепей.

    Пусть фазы источника и нагрузки соединены звездой с нейтральным проводом (рис. 4а)). При таком соединении нагрузка подключена к фазам источника и U A = U a , U B = U b и U C = U c. , а I A = I a , I B = I b и I C = I c . Отсюда по закону Ома токи в фазах нагрузки равны

    I a = U A / Z a ; I b = U B / Z b и

    I c = U C / Z c .

    Ток в нейтральном проводе можно определить по закону Кирхгофа для нейтральной точки нагрузки. Он равен

    I N = I a + I b + I c .

    Выражения (5) и (6) справедливы всегда, но в симметричной системе Z a = Z b = Z c = Z , поэтому I N = I a + I b + I c = U A / Z a + U B / Z b + U C / Z c = ( U A + U B + U C )/ Z = 0, т.к. по условию симметрии U A + U B + U C =0. Следовательно, в симметричной системе ток нейтрального провода равен нулю и сам провод может отсутствовать. В этом случае связанная трехфазная система будет передавать по трем проводам такую же мощность, как несвязанная по шести. На практике нейтральный провод в системах передачи электроэнергии сохраняют, т.к. его наличие позволяет получать у потребителя два значения напряжения — фазное и линейное (127/220 В, 220/380 В и т.д.). Однако сечение нейтрального провода обычно существенно меньше, чем у линейных проводов, т.к. по нему протекает только ток, создаваемый асимметрией системы.

    При симметричной нагрузке токи во всех фазах одинаковы и смещены по отношению друг к другу на 120 ° . Их модули или действующие значения можно определить как I = U ф / Z .

    Векторные диаграммы для симметричной и несимметричной нагрузки в системе с нейтральным проводом приведены на рис. 4 б) и в).

    При отсутствии нейтрального провода сумма токов в фазах нагрузки равна нулю I a + I b + I c =0. В случае симметричной нагрузки режим работы системы не отличается от режима в системе с нейтральным проводом.

    При несимметричной нагрузке между нейтральными точками источника и нагрузки возникает падение напряжения. Его можно определить по методу двух узлов, перестроив для наглядности схему рис. 5 а). В традиционном для теории электрических цепей начертании она будет иметь вид рис. 5 б). Отсюда

    где Y a =1/ Z a , Y b =1/ Z b , Y c =1/ Z c — комплексные проводимости фаз нагрузки.

    Напряжение U nN представляет собой разность потенциалов между нейтральными точками источника и нагрузки. По схеме рис. 5 б) его можно представить также через разности фазных напряжений источника и нагрузки U nN = U A — U a = U B — U b = U C — U c . Отсюда фазные напряжения нагрузки

    U a = U A — U nN ; U b = U B — U nN ; U c = U C — U nN .

    Токи в фазах нагрузки можно определить по закону Ома

    I a = U a / Z a ; I b = U b / Z b ; I c = U c / Z c .

    Векторные диаграммы для симметричной и несимметричной нагрузки приведены на рис. 6. Диаграммы симметричного режима (рис. 6 а)) ничем не отличаются от диаграмм в системе с нулевым проводом.

    Диаграммы несимметричного режима (рис. 6 б)) иллюстрируют возможность существования множества систем фазных напряжений для любой системы линейных. Здесь системе линейных напряжений U AB U BC U CA соответствуют две системы фазных. Фазные напряжения источника U A U B U C и фазные напряжения нагрузки U a U b U c. .

    В трехфазных цепях нагрузка и источник могут быть соединены по-разному. В частности нагрузка, соединенная треугольником, может быть подключена к сети, в которой источник питания соединен звездой (рис. 7 а)).

    При этом фазы нагрузки оказываются подключенными на линейные напряжения

    U ab = U AB ; U bc = U BC ; U ca = U CA .

    Токи в фазах можно найти по закону Ома

    I ab = U ab / Z ab ; I bc = U bc / Z bc ;

    I ca = U ca / Z ca ,

    а линейные токи из уравнений Кирхгофа для узлов треугольника нагрузки

    I A = I ab — I ca ; I B = I bc — I ab ; I C = I ca — I bc .

    Векторы фазных токов нагрузки на диаграммах для большей наглядности принято строить относительно соответствующих фазных напряжений. На рис. 7 б) векторные диаграммы построены для случая симметричной нагрузки. Как и следовало ожидать, векторы фазных и линейных токов образуют симметричные трехфазные системы.

    На рис. 7 в) построена векторная диаграмма для случая разных типов нагрузки в фазах. В фазе ab нагрузка чисто резистивная, а в фазах bc и ca индуктивная и емкостная. В соответствии с характером нагрузки, вектор I ab совпадает по направлению с вектором U ab ; вектор I bc отстает, а вектор I ca опережает на 90 ° соответствующие векторы напряжений. После построения векторов фазных токов можно по выражениям (10) построить векторы линейных токов I A , I B и I C .

    Трехфазная цепь является совокупностью трех однофазных цепей, поэтому ее мощность может быть определена как сумма мощностей отдельных фаз.

    При соединении звездой активная мощность системы будет равна

    P = P a + P b + P c = U a I a cos j a + U b I b cos j b + U c I c cos j c =

    = I a 2 R a + I b 2 R b + I c 2 R c ,

    Q = Q a + Q b + Q c = U a I a sin j a + U b I b sin j b + U c I c sin j c =

    = I a 2 X a + I b 2 X b + I c 2 X c .

    Если нагрузка соединена треугольником, то активная и реактивная мощности будут равны

    P = P ab + P bc + P ca = U ab I ab cos j ab + U bc I bc cos j bc + U ca I ca cos j ca =

    = I ab 2 R ab + I bc 2 R bc + I ca 2 R ca ,

    Q = Q ab + Q bc + Q ca = U ab I ab sin j ab + U bc I bc sin j bc + U ca I ca sin j ca =

    = I ab 2 X ab + I bc 2 X bc + I ca 2 X ca .

    Полную мощность можно определить из треугольника мощностей как

    Следует обратить внимание на то, что полная мощность трехфазной цепи не является суммой полных мощностей фаз .

    При симметричной нагрузке мощности всех фаз одинаковы, поэтому полная мощность и ее составляющие для соединения звездой будут равны

    При соединении нагрузки треугольником

    Из выражений (16) и (17) следует, что полная мощность трехфазной сети и ее составляющие при симметричной нагрузке могут быть определены по линейным токам и напряжениям независимо от схемы соединения .

    Источник