Меню

Изображение синусоидального тока вращающимися векторами

Изображение синусоидальных функций вращающимися векторами

date image2015-05-26
views image3076

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Как известно [1], синусоидальные функции времени можно графически изображать не только синусоидами (рис. 6, 7), но и вращающимися векторами.

В курсе тригонометрии приводится следующий способ построения графика синусоиды.

Радиус-вектор, длина которого равна амплитуде синусоиды Im (рис. 8), вращают против часовой стрелки, проектируя его на вертикальную ось с одновременной разверткой по горизонтальной оси, на которой откладывают соответствующие углы поворота.

На рисунке 8 показано построение одного периода синусоиды тока i = Imsinwt в пределах от t = 0 (wt = 0) до t = T (wt = 2π). График на рисунке 8 соответствует случаю равенства нулю ψІ = 0 начальной фазы, то есть синусоида начинается с нуля, уходя в область положительных значений.

Начальной фазой ψ синусоидальной функции называется значение фазового угла в момент времени t = 0.

На рисунке 9 приведено построение полного цикла T (2π) синусоиды i = Imsin(wt + ψІ), у которой начальная фаза ψІ > 0, то есть радиус-вектор Im в момент времени t = 0 повернут относительно горизонтального положения на угол ψІ = π/6 в положительном (против часовой стрелки) направлении.

На рисунке 10 показана векторная диаграмма напряжения Um и тока Im с различными начальными фазами ψU и ψI соответственно для промежутка времени t = 0 с последующей разверткой в графики синусоид u = Umsin(wt + ψU) и i = Imsin(wt + ψI).

Введем понятия о сдвиге фаз синусоид одной и той же частоты во времени. Применительно к рисунку 10 углом сдвига φ между напряжением и током называется разность начальных фаз соответствующих синусоид: φ = ψUψI.

С учетом положительного направления вращения векторов w > 0 (против часовой стрелки) является очевидным, что вектор напряжения Um опережает вектор тока Im на угол φ. Поскольку время t на оси абсцисс (рис. 10) отсчитывается слева направо, то сравнивая моменты прохождения одинаковых фаз синусоид напряжения и тока, можно убедиться, что напряжение опережает ток во времени на угол φ.

Как видно из рисунка 10 синусоида напряжения по сравнению с синусоидой тока проходит раньше на угол φ через нулевые значения и фазу положительной амплитуды.

Как уже упоминалось, все основные законы электротехники, сформулированные применительно к цепям постоянного тока [2], для цепей переменного тока справедливы только для мгновенных токов, напряжений и э.д.с. Рассмотрим простейший электрический узел (рис. 11), являющийся одним из участков цепи синусоидального тока. Стрелками условно показаны направления токов, чтобы было возможно пользоваться правилом знаков (плюс – минус) при алгебраических операциях с мгновенными значениями синусоидальных функций времени. Предположим, что заданы синусоиды токов i1= Im1sin(wt + ψ1) и i2= Im2sin(wt + ψ2), а необходимо определить синусоиду суммарного тока i. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа в алгебраической форме для мгновенных значений:

то есть решение сводится к определению амплитуды Im и начальной фазы ψ суммарной синусоиды i.

Эта задача решается аналитически с достаточно высокой точностью получаемых результатов. Такой метод расчета, основанный на алгебраических операциях с мгновенными значениями синусоид, называется аналитическим. Недостатком этого метода является усложнение расчетных операций, если число слагаемых синусоид увеличивается. Поэтому был предложен графический метод, основанный на геометрическом сложении векторов, изображающих синусоидальные токи, напряжения и э.д.с. одинаковой частоты (метод векторных диаграмм).

Покажем этот метод применительно к простейшему электрическому узлу (рис. 11), рассмотренному выше с позиций аналитического метода.

Изобразим слагаемые синусоиды для момента времени t = 0 в виде векторов и с учетом начальных фаз ψ1 и ψ2 и соблюдением одинаковых масштабов (рис. 12). Очевидно проекции этих векторов на вертикальную ось i (ось мгновенных значений) при вращении их против часовой стрелки с угловой скоростью w и при одновременной развертке по горизонтальной оси времени t (или фазового угла wt) позволяют построить графики соответствующих синусоид. Осуществим векторное суммирование по правилу треугольника или диагонали параллелограмма (рис. 12). Поскольку векторы и построены для момента времени t = 0, то их проекции на вертикальную ось i1= Im1sinψ1 и i2= Im2sinψ2 представляют собой мгновенные значения при t = 0. Спроецировав на ту же ось вектор , получим мгновенное значение тока i = Imsinψ, которое в соответствии с теоремой о векторной сумме равно алгебраической сумме проекций слагаемых векторов i = i1 + i2. Таким образом можно утверждать, что можно заменить алгебраические операции с мгновенными значениями синусоид геометрическим сложением векторов, изображающих эти синусоиды.

Векторной диаграммой называется совокупность векторов, изображающих синусоидальные функции токов, напряжений и э.д.с. одинаковой частоты, которая, как правило, представляет собой графическое решение первого или второго закона Кирхгофа.

В отличие от аналитического метода метод векторных диаграмм (графический) является более простым и наглядным. Недостатком этого метода является невысокая точность результатов при необходимости в численных расчетах.

Источник

Представление синусоидальных величин вращающимися векторами и комплексными числами

· Представление синусоидальных функций вращающимися векторами

Расчет переменных токов и напряжений с помощью алгебраических операций их мгновенных значений по исходным выражениям (1.1а) − (1.1в) весьма неудобен из-за громоздких вычислений. Графическое представление синусоидальных величин (см. рис.1.3) достаточно наглядно для одной, двух синусоид, но для сложных цепей практически не используется, ввиду трудности построения и анализа нескольких синусоидальных величин.

Читайте также:  Конденсатор зарядили от источника тока затем отсоединили

Представления синусоидальных функций при помощи вращающихся векторов (векторных диаграмм), как показано на рис 1.4, позволяет наглядно показать количественные и фазовые соотношения между разными напряжениями, токами и широко используется при объяснении процессов в цепях переменного тока.

Мгновенное значение синусоидальной функции времени t или угла поворота wtможно представить в виде изменяющейся проекции на вертикальную ось вращающегося с угловой скоростью wвектора, как показано на рис 1.4. Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, обозначаются, как и комплексные величины, точками вверху. Сравнивая рисунки 1.4,а и 1.4,б, можно видеть что длины векторов и равны амплитудам напряжения Um и тока Im синусоидальных функций напряжения uи тока i.

Рис.1.4. Соответствие синусоидальных функций u, i
и вращающихся векторов и

а) – графики мгновенных значений синусоидальных величин напряжения и тока; б)–вращающиеся с угловой скоростью ω векторы и

Проекции вращающихся с угловой скоростью ω векторов и на ось ординат У (рис. 1.4,б) равны мгновенным значениям синусоидальных функций напряжения uи тока i (рис. 1.4,а)

Углы наклона к оси абсцисс Х векторов и изменяются с угловой скоростью wи для момента времени t = t1 соответствуют фазам yu1 и yi1, поскольку для этого момента:

Начальные фазы yu и yi будут соответствовать углам наклона векторов и к оси Хв начальный момент времени t = 0 (рис. 1.4,б). Легко убедится, что векторы и , вращающиеся с одной угловой скоростью w, будут взаимно неподвижнымии для любого момента времени сохраняют неизменным сдвиг фаз между напряжением и током:

Так как фазовые сдвиги между напряжениями, токами и ЭДС одной частоты w остаются неизменными в течение времени, то от системы вращающихся векторов можно перейти к эквивалентной системе неподвижных векторов для момента времени t = 0.

В электротехнике принято оперировать действующими значениями величин напряжений U , ЭДС Е и токов I. Поэтому длины векторов на векторных диаграммах соответствуют не амплитудным, а действующим значениям, которые, как было выше сказано в раз меньше амплитудных значений.

Углы наклона векторов напряжения и тока к оси абсцисс (рис. 1.4,б) равны начальным фазам yu и yi (см. рис. 1.4,а). Таким образом, неподвижные векторы определяют два параметра синусоидальной величины: действующее значение и начальную фазу. Третий параметр – угловая частота w должен быть заранее известен.

За положительное направление вращения векторов с угловой скоростьюw принято направление вращения против часовой стрелки (см. рис 1.4,б). Первый по вращению вектор считается опережающим следующий за ним вектор нафазовый угол j, который, в свою очередь, считается отстающим на тот же угол j относительно первого вектора. Например, на рис. 1.4,а вектор напряжения опережает вектор тока на фазовый угол j или наоборот, можно считать, что вектор тока отстает относительно вектора на тот же угол j.

Если для синусоидальных величин одной частоты начальные фазы одинаковы, то векторы этих величин направлены в одну сторону, фазовый угол между ними равен нулю (j=0) и говорят, что эти величины совпадают по фазе (синфазны). Когда для синусоидальных величин разность фаз j = ±p, то векторы этих величин направлены в противоположные стороны и говорят, что эти величины противоположны по фазеили находятся в противофазе.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, относящиеся к одной цепи, называют векторной диаграммой.

Применение векторных диаграмм делает наглядным анализ электрический цепи. В этом методе сложение и вычитание мгновенных значений синусоидальных величин можно заменить геометрическим сложением и вычитанием их векторов, по правилам, представленным в Приложении 4.

· Представление синусоидальных функций комплексными числами

Применение векторных диаграмм для анализа цепей переменного тока, несмотря на простоту и наглядность, не всегда дает достаточную точность при расчетах. Метод представления синусоидальных функций комплексными величинами и оперирование с ними как с комплексными числами, называемый комплексным методом [1], объединяет в себе простоту векторных диаграмм с возможностью производить расчеты с любой заданной степенью точности.

Комплексный метод основан на представлении векторов из декартовой системы координат (рис. 1.5,а) в комплексной плоскости (см. рис. 1.5,б) и на записи их комплексными числами. Это позволяет для цепей синусоидального тока применять законы Ома и Кирхгофа и методы расчета этих цепей в той же форме, что и для цепей постоянного тока, конечно с учетом специфики оперирования с комплексными величинами.

Рис. 1.5. Соответствие векторов и комплексных чисел

а) – векторы действующих значений тока I и напряжения U на векторной диаграмме;

б) – представление векторов тока и напряжения на комплексной плоскости

Синусоидальную функцию тока или напряжения можно однозначно изобразить соответствующим вектором в декартовых координатах (см. рис. 1.5,а) или на комплексной плоскости (рис. 1.5,б). В свою очередь, каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое можно записать в алгебраической, тригонометрической или показательной форме. Например, комплексы тока инапряжения на рис. 1.5,б, соответствующие векторам тока и напряжения на векторной диаграмме рис. 1.5,а, можно представить в алгебраической форме:

в тригонометрической форме:

Читайте также:  Запчасти для двигателей постоянного тока

и показательной форме:

где и модули комплексов тока и напряжения, равные длинам векторов этих величин, которые определяют действующие значения соответствующего тока и напряжения;
yi = arctgIр/Iа и yu = arctgUр/Uааргументы комплексовтока и напряжения, равные их начальным фазам; формула Эйлера, связывающая алгебраическую и показательную формы записи комплексных чисел; еоснование натурального логорифма; мнимая единица.

Примечание В электротехнике мнимая единица обозначается буквой j, в отличие от математики, где мнимая единица – i(а в электротехнике i– это принятое обозначение тока).

Таким образом, комплексное число или просто комплекс тока или напряжения в любой из выше перечисленных форм записи является отображением соответствующей синусоидальной функции тока или напряжения.

· Правила операций с векторами и комплексными величинами

Если исходный вектор повернуть на комплексной плоскости из положения 1 в положение 2 против часовой стрелки на угол β (см. рис. 1.6), то в комплексной форме это запишется как .

Рис. 1.6. Операция поворота вектора на комплексной плоскости

Следовательно, умножение комплексного числа на множитель типа соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол ±b, причем угол +b откладывается против часовой стрелки, а (-b) – по ходу часовой стрелки.

Если угол b = p/2= 90°, то из формулы Эйлера следует:

То есть умножение комплексного числа на мнимую единицу ±j соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол ±p/2.

Если взять, например, комплекс в алгебраической форме , изображенный вектором в положении 1 (см. рис. 1.6), то, умножив его +j, получим , что при его графическом построении на комплексной плоскости соответствует повороту исходного вектора на угол p/2 в положительном направлении (против часовой стрелки) из положения 1 в положение 3.

Считая угол поворотного множителя функцией времени, когда b = wt, получаем множитель или оператор вращения . В этом случае вектор станет радиусом-вектором, вращающимся относительно начала координат на комплексной плоскости с угловой скоростью w против часовой стрелки, что записывается в виде: . Это выражение называют комплексной функцией времени или комплексным мгновенным значением.

Комплексное число будетдействительным числом А, когда сомножитель b при мнимой единице будет равен нулю, при этом аргумент комплексного числа – угол α будет равен нулю или π, а на комплексной плоскости этому действительному числу будет соответствовать вектор проведенной вдоль оси действительных чисел вправо от нуля (при угле α = 0)или влево от нуля (отрицательные числа при угле α = π).Комплексное число называется мнимым, когда действительное число а = 0, а аргумент комплексного числа – угол α будет равен ±π/2. На комплексной плоскости этому мнимому числу будет соответствовать вектор проведенной вдоль вертикальной оси мнимых чисел ±j.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления синусоидальных функций времени производят путем тех же алгебраических действий с соответствующими комплексными числами или векторами на комплексной плоскости. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной форме, и наоборот, соответствует переходу от декартовых координат к полярным и от полярных координат – к декартовым. При этом операции алгебраического сложения и вычитания комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, заменяются эквивалентными операциями геометрического сложения и вычитания соответствующих комплекс-векторов, записанных в показательной форме. Выбор той или иной формы записи комплексных чисел определяется простотой и удобством оперирования для определенной математической операции. Так, при сложении и вычитании комплексных чисел более удобна алгебраическая форма записи, а при умножении и делении – показательная.

Источник

5. Изображение синусоидальных величин с помощью вращающихся векторов

При анализе работы электрических цепей переменного тока приходится складывать синусоидальные функции времени одной и той же частоты, но имеющие разные амплитуды и начальные фазы. Это удобно выполнять если синусоидальные функции изображать вращающимися векторами.

Пусть нам задано мгновенное значение в виде: е = Ем • sin(&t + i/z);

Рассмотрим два момента времени: t=0; t=tit;

Справа изобразим график синусоидальной ЭДС, слева — окружность, радиус которой ОА равен амплитудному значению ЭДС

Радиус-Вектор ОА=Ем вращается с угловой скоростью ю, равной угловой частоте изменения ЭДС. Тогда в любой момент времени по радиус-вектору можно определить мгновенный значения ЭДС, которые будут равны проекции длины вектора на вертикальную ось Y

Замена синусоидальной функции времени вращающимся вектором позволяет перейти от алгебраического сложения функций к геометрическому сложению изображающих их векторов.

ИЗОБРАЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВЕКТОРОВ

6. Векторные диаграммы

Например, надо сложить синусоидально изменяющиеся во времени тока одной частоты

i\ ^ i*2 ^ i*3;

Для этого необходимо на одном графике изобразить соответствующие вектора:

Источник



Изображение синусоидальных величин с помощью векторов

При расчете цепей переменного тока часто приходится производить операции сложения и вычитания токов и напряжений. Когда токи и напряжения заданы аналитически или временными диаграммами, эти операции оказываются весьма громоздкими. Существует метод построения векторных диаграмм, который позволяет значительно упростить действия над синусоидальными величинами. Покажем, что синусоидальная величина может быть изображена вращающимся вектором.

Пусть вектор 1т вращается с постоянной угловой частотой со против часовой стрелки. Начальное положение вектора /т, задано углом у/ (рисунок 9.4.). Проекция вектора 1т на ось у определяется выражением /„, sin (cot + ц/), которое соответствует

Читайте также:  Дать определение плотности тока записать формулу

мгновенному значению переменного тока. Таким образом, временная диаграмма переменного тока является разверткой по времени вертикальной проекции вектора /т, вращающегося со скоростью со .

Изображение синусоидальных величин с помощью векторов дает возможность наглядно показать начальные фазы этих величин и сдвиг фаз между ними.

Рисунок 9.4 — Изображение синусоидального тока вращающимися векторами

На векторных диаграммах длины векторов соответствуют действующим значениям тока, напряжения и ЭДС, так как они пропорциональны амплитудам этих величин.

На рисунке 9.5 показаны векторы Ei и Е2 с начальными фазами ц/i и ц/2 сдвигом фаз

Рисунок 9.5 — Векторная диаграмма синусоидальных Э.Д.С.

Совокупность нескольких векторов, соответствующих нулевому моменту времени, называют векторной диаграммой. Необходимо иметь в виду, что на векторной диаграмме векторы изображают токи (напряжения) одинаковой частоты.

Ответы на письма в редакцию

Редакция получила письмо от заведующей вузовской библиотекой. В этом письме задан вопрос о применении ГОСТ 7.1-2003, ответ на который, как нам кажется, носит общий характер и будет полезен многим.

Публикуем и письмо, и ответ на него Э.Р. Сукиасяна, главного редактора ББК, члена редколлегии сборника.

Уважаемые коллеги!

В связи с введением в действие с 1.07.04 г. [ГОСТ 7.1-2003] “Библиографическая запись. Библиографическое описание. Общие требования и правила составления” возникают трудности с толкованием его отдельных положений. В частности, в разделе I “Область применения” сказано: “Стандарт распространяется на описание документов, которое составляется библиотеками, органами научно-технической информации, центрами государственной библиографии, издателями, другими библиографирующими учреждениями. Стандарт не распространяется на библиографические ссылки”.

Просим разъяснить, обязательно ли применение [ГОСТ 7.1-2003] при составлении списков в диссертациях, монографиях, методических пособиях, дипломных и курсовых работах.

На поставленный вопрос можно дать очень короткий ответ: да, применение ГОСТ 7.1-2003 при составлении списков литературы в диссертациях, монографиях, методических пособиях, дипломных и курсовых работах обязательно.

Посмотрим последовательно по видам указанных документов, на чем основывается наше утверждение.

Оформление диссертаций на соискание ученой степени кандидата и доктора наук, вне зависимости от специальности, подчиняется общим правила ВАК, с которыми любой аспирант, докторант, соискатель ученой степени может ознакомиться, обратившись к ученому секретарю диссертационного совета. В отношении списков в правилах дана ссылка на ГОСТ 7.1-2003. Как быть со ссылками, на которые ГОСТ 7.1-2003 не распространяется? Об этом скажу ниже.

Применение ГОСТ 7.1-2003 в отношении прикнижных или пристатейных списков в монографиях, методических пособиях, сборниках научных трудов и прочих изданиях, конечно, обязательно, так как в области применения указан “издатель”, иначе говоря — издательство или издающая организация (например учебное заведение).

Сложнее доказать, что стандарт распространяется на списки литературы в дипломных и курсовых работах, не предназначенных, как известно, для издания, публикации. Прямо об этом в “области применения” не сказано. Говорят: нельзя заставить “частное лицо” применять государственный стандарт. Тем не менее существуют, как минимум, два обстоятельства, в связи с которыми требований стандарта должны придерживаться кафедры учебных заведений.

Первое. У нас пока нет стандартизованного определения библиографирующего учреждения. По смыслу понятно, что оно занимается библиографированием. По ГОСТ 7.76-96, п. 3.1 библиографирование — процесс подготовки библиографической информации. Давайте подумаем: разве не занимается студент, дипломник подготовкой библиографической информации, когда составляет список литературы к своей курсовой или дипломной работе? Но тогда кафедра условно может считаться “библиографирующим учреждением” и должна обязательно требовать у студентов и дипломников применения ГОСТ 7.1-2003.

Второе. Сегодня — студент, дипломник. Завтра — кандидат, доктор наук, автор монографии, составитель учебного пособия, методических рекомендаций. Разве не ясна эта последовательность? Чем раньше специалист узнает, как должна быть оформлена грамотная научная или учебная публикация, как. впрочем, и любая другая, тем лучше для него. Тем меньше времени потратит на его рукопись редактор, для которого стандарт обязателен.

Теперь два слова о ссылках. Библиографические ссылки имеют особую природу, их оформление регламентируется отдельным международным стандартом ИСО 690. Составление библиографических ссылок будет регламентировать специально подготовленный новый нормативный документ, соответствующий международному стандарту. Ждать его нет смысла: надо умело оформлять ссылки.

Обратите внимание: речь идет об оформлении, а не о составлении библиографических ссылок. Давно найден удобный и экономичный прием. К монографии, статье, диссертации, дипломной или курсовой работе составляется нумерованный список литературы, в котором для каждого источника указано количество страниц в соответствии со стандартом. В тексте работы дается в квадратных скобках указание на номер источника и конкретную страницу (или, при необходимости, несколько страниц), например: [67. С. 82-84], при этом в списке под номером 67 может быть указана монография объемом в 387 страниц. Внутритекстовые ссылки к одному и тому же источнику могут даваться многократно. Они экономят место, облегчают набор и форматирование текста.

Источник